Claude AI 未能證明黎曼猜想，但將一項關鍵下限推進至 67.2%

• 舊的下界： 41.6%——這是過去 46 年來人類數學家共同努力的累積成果 。
• 新的下界： 67.2%（精確常數約為 3/2 − (1/√2) cot(1/√2) ≈ 67.25%）。
• 關鍵提醒： 這並不等於證明了黎曼猜想。黎曼猜想要求的是 100% 的非平凡零點都位於臨界線上 。

實驗過程：從 650 次失敗到一夜突破

這個戲劇性的突破過程，源自於一個大膽且開放的實驗 。

• 平凡的人類發起者： Anthropic 員工 Jarred Sumner 本身並無數學背景，他直接要求 Claude「認真攻克一下」黎曼猜想，並將所有數學決策權交給模型 。
• 第一階段： Claude 先後提出並嘗試了 650 個解題思路，但全部失敗。Sumner 的角色只是不斷給予鼓勵，例如「繼續加油」、「要相信自己」。
• 第二階段（36 小時）： Claude 協調了約 60 個子代理（subagents），執行了 2,400 個終端指令，撰寫數百個 Python 腳本，並針對已知的 zeta 零點進行了數千次數值校驗。這些子代理甚至會互相審查彼此的工作成果 。
• 最終產出： 兩個會話階段共消耗 3,100 萬個 token 。Claude 不僅給出了結果，還主動將發現撰寫成論文，並建議交由人類專家進行驗證 。

Claude 的關鍵洞察：連接兩條「孤立」的研究路線

Claude 的突破並非源自於發現全新的數學理論，而是展現了卓越的「連結」能力 。它巧妙地將兩條此前從未被結合在一起的獨立研究路線進行了整合 ：

• 路線 A（2023–2025 年，Baluyot、Goldston、Suriajaya、Turnage-Butterbaugh 等人）： 一系列論文成功移除了 Montgomery 對相關聯方法中的黎曼猜想假設，使這些工具可以在「無需預設黎曼猜想為真」的條件下使用 。
• 路線 B（2000 年，Bombieri 的論文）： 提供了另一套互補的解析數論技術 。

Claude 的核心創新在於，它將由 Weil 引入的二次型應用於整個函數空間，同時考慮了正定與負定子空間（分別對應於零點在線上或線外），並允許這個二次型是 非對角線 的。這使其能夠利用一階和二階動差資訊推導出一個秩不等式，最終得出新的下界 。

嚴謹的驗證與重要的警示

Anthropic 對這項成果進行了異常嚴謹的內部與外部驗證步驟，以確保其可信度 。

• 內部驗證： Anthropic 的數學家 Levent Alpöge 和 Ralph Furman 仔細研究並確認了 Claude 的論文 。
• 外部專家審查： 該領域的兩位頂尖權威 Brian Conrey 和 Dan Goldston 在短時間內審查了該結果，並給予了肯定 。
• 形式化驗證： Claude 與員工 Eric Easley 合作，為該結果產生了 Lean 形式化證明，並通過了標準的 Lean 驗證工具 。
• 來自 Anthropic 的重要警告： 公司明確指出：「我們不預期 Claude 所使用的技術最終能證明黎曼猜想。」這是一個意義重大但有明確邊界的改進，並非通向完整猜想的路徑 。