AI vs. AI：2026年數學競賽——OpenAI Astra與Anthropic Claude Fable 以2,000美元破解數十年難題

雅可比猜想由Ott-Heinrich Keller於1939年首次提出，是代數幾何中的一個開放問題，在菲爾茲獎得主Stephen Smale的21世紀問題清單中排名第16。該猜想詢問：如果一個從C³到C³的多項式映射處處具有非零常數的雅可比行列式，那麼它是否必定全局可逆？87年來，無人能找到反例或證明。

Alpöge與Anthropic的Claude Fable 5合作，發現了映射F = (P, Q, R): C³ → C³，其雅可比行列式為−2（非零常數），卻將三個不同輸入映射到同一輸出，直接否定了該猜想。結果以Lean 4形式化，並在一天內得到包括倫敦帝國理工學院Kevin Buzzard在內的數學家驗證。這被廣泛描述為迄今為止AI解決的最困難數學問題。

OpenAI Astra：10個問題，2,000美元（2026年8月1日）

2026年8月1日，OpenAI發表研究報告，透露其內部版本的下一代主要模型Astra，在10個開放問題上取得了新成果——這些問題每個至少十多年未見進展。OpenAI在GitHub上發布了這些證明，並附有機器可檢查的Lean 4證書。產生所有10個解決方案的總運算成本，按API費率計算約為2,000美元。

以下是Astra據稱解決的10個問題：

• 非sofic群（群論）：首個顯式非sofic群的構造，自1999年Mikhail Gromov引入sofic性以來一直懸而未決。
• 置換的電路下界（電路複雜度）。
• 高維球體堆積：達到Cohn–Elkies閾值的球體堆積密度新上限。
• 二元與球面碼：對經典上界的指數級改進。
• 算子代數：對Connes關於群von Neumann代數的剛性猜想提出的反例。
• 量子並行重複：關於所有糾纏遊戲的量子並行重複結果。
• 格密碼學：關於最近向量問題的新結果。
• 極值組合學：解決Erdős問題#146、#180和#183。
• 高維幾何：新穎的幾何構造。
• Ehrhart猜想：關於格點計數問題的解決。

這份249頁的手稿附有模型撰寫的推理過程解說，GitHub儲存庫報告「sorry」計數為零——意味著所有10個形式化證明的每一步都經過全面驗證。

Anthropic的反擊：Claude Fable匹配5/10（2026年8月2日）

在OpenAI宣布後24小時內，Levent Alpöge在X平台上回應，聲稱他使用公開可用的Claude Fable（而非未發布模型）獨立解決了10個問題中的5個。

關鍵細節：

• 他使用了通用提示詞，沒有網路存取，並設置了防護措施確保Fable無法看到OpenAI的解決方案。
• Fable在數小時內自主產生了結果。
• 解決的問題涵蓋算術電路複雜度、量子並行重複、格密碼學及最近向量問題。
• 其中僅一個使用了本質上相同的論證；其他四個可能是獨立的證明。
• Alpöge並未聲稱Fable解決了全部10個——只表示它以最少的人為引導獨立複現了其中5個。

此舉旨在證明，一個公開可用的模型能夠匹配Astra成果的相當大一部分，從而挑戰了OpenAI將Astra視為獨一無二的敘事。

更大的圖景：這對數學與AI意味著什麼

成本成為競爭維度。 OpenAI的2,000美元數字直接指向成本效率。如果AI系統現在能以每個問題200美元的成本產生真正新穎的數學結果，那麼瓶頸將從發現轉向驗證與解讀。

機器可檢查證明佔據主導地位。 雅可比猜想與Astra的結果都以Lean 4形式化，使其成為機器可檢查的證明。快速驗證（數小時/天而非數年）表明，對於某些類型的結果，Lean證書可能成為黃金標準，有可能取代傳統同儕審查。

學術研究中的作者歸屬問題。 雅可比猜想的結果立即引發了問題：誰是作者？是向模型提問的數學家、模型本身，還是建造它的公司？ Alpöge在X平台上同時感謝了一位人類同事和Claude Fable 5。學術期刊對於AI共同作者沒有標準政策，該結果是透過社交媒體和GitHub傳播，而非傳統同儕審查。

數學家們形容這一進展「非常迅速且令人困惑」。

關鍵不確定性

關於Alpöge的Claude Fable具體複現了10個問題中的哪5個，目前尚未公佈完整細節。報導稱它們涵蓋算術電路複雜度、量子並行重複和格密碼學，但確切的對應關係仍未得到證實。這兩個聲明都應視為公司和研究人員宣布的結果，尚未完成正式同儕審查——儘管經Lean驗證的證明提供了強而有力的機器可檢查信心。