OpenAI 的 Astra 模型如何以 2,000 美元攻克 10 個數學界十大未解難題？

Astra 解決的具體難題

根據 OpenAI 的報告，這些成果橫跨 八個領域，包含證明、反例以及更佳的界限 ：

• 非 Sofic 群（Non-sofic groups）——首次明確建構出非 sofic 群的存在，解決了自 1999 年 Mikhail Gromov 提出 soficity 概念以來，群論中一個核心的開放問題 。
• Connes 剛性猜想（Connes's rigidity conjecture）——反駁了馮諾伊曼代數領域一個長久以來的猜想 。
• 高維球體堆疊（High-dimensional sphere packing）——為已解決維度之外的高維度空間提供了新的上限 。
• Paul Erdős 提出的三個問題——解決了 Erdős 經典問題集中的三個開放組合問題，包括關於多色拉姆齊數（multicolored Ramsey numbers）的 Erdős 第 183 號問題 。
• 其他成果——在量子平行重複（quantum parallel repetition）、格密碼學（lattice cryptography）中的最近向量問題（closest vector problem）、算術電路複雜度（arithmetic circuit complexity）、二元與球面編碼（binary and spherical codes）以及 Ehrhart 體積猜想（Ehrhart's volume conjecture）等方面取得新進展 。

OpenAI 如何驗證解決方案

OpenAI 並非僅依賴模型的輸出。每一項成果都附帶了一個 Lean 4 形式化證明證書——一個可在筆電上獨立驗證的電腦可檢查證明檔案 。Lean 是一款證明助手，它會檢查從公理到結論的每一個邏輯步驟，找出漏洞、型別錯誤與不一致之處 。OpenAI 已將所有 Lean 檔案公開在 GitHub 上，該儲存庫中所有十個證明的「sorry」計數——表示未證明的步驟——皆為零 。

然而，多位評論者指出，形式化驗證有其重要限制：Lean 可以確認一個形式化陳述是否遵循其形式化定義，但它無法證明一篇新聞稿摘要是否準確反映了該形式化定理、形式化定義是否完全符合數學社群對該問題的預期，或者該結果的新穎性與歷史論述是否正確 。專家仍需審查陳述的忠實度、定義、化約以及從非形式化到形式化的橋接 。

成本：2,000 美元的 Token 費用

OpenAI 透露，生成所有十個解決方案的總運算成本，按 Sol API 費率計算的 token 費用約為 2,000 美元 。這個數字僅是 API 等價的解決方案搜尋 token 成本——它排除了失敗的嘗試、並行的探索運算，以及在找到一個證書前內部搜尋所花費的運算 。相比之下，頂尖大學一位數學博士生一年的津貼可能超過 50,000 美元，這使得成本效益成為許多觀察者眼中這項宣布最引人注目的面向 。

批評與質疑

數學社群與 AI 研究人員提出了幾點謹慎的意見：

• 數學社群意見分歧——對這些成果的評估仍然好壞參半。一些研究人員告誡，雖然 Lean 證書證明了形式上的正確性，但它們無法保證這些結果是重要的、出乎意料的，或正確地被定位為對特定開放問題的解答 。
• Gary Marcus（認知科學家） 主張「數學上的成功是特例」，某個領域的專業知識並不能保證通用的推理能力。他列出了八個常見的誤解，警告不要將此結果過度推廣到所有科學領域 。
• 「誰來驗證 AI 的證明？」——觀察者提出了一個開放問題：當推理過程不透明時，該如何審計 AI 生成的數學？目前並無公認的方法來評估一個黑箱模型的結果是否為已知研究的未註明重建 。
• 缺乏同儕審查與透明度——這項宣布恰逢 2026 年 6 月數學界發布《萊頓宣言》（Leiden Declaration），該宣言批評 AI 公司以新聞稿繞過同儕審查 。OpenAI 尚未公開釋出 Astra 模型、提供模型卡，或揭露 2,000 美元這個數字背後的失敗率 。
• 與 Google DeepMind 的比較——懷疑論者指出，較早的 AI 數學宣稱（例如 DeepMind 的 AlphaGeometry）後來都面臨了嚴格檢視，因此呼籲在宣布範式轉移前應保持謹慎 。

更廣泛的影響

• 研究的民主化——2,000 美元的成本暗示了一個未來，即使是小型團隊或個人也能使用 AI 做出真正的研究貢獻，而這些貢獻過去需要多年的專業知識 。
• 驗證文化的危機——該領域現在面臨著迫切需求，即建立公認的標準，來評估、歸屬和同儕審查由專有黑箱模型生成的 AI 證明 。
• 數學的商業化控制——如果前沿的數學發現變得依賴於對專有模型的 API 存取，核心研究基礎設施將從公共機構轉移到私營公司 。
• AI 能力的新基準——不同於解決固定的競賽問題（如 IMO 或 MATH），Astra 產出了真正新穎的開放問題成果，推進了知識的前沿，提高了「AI 做數學」的門檻 。曼徹斯特大學的數學家 Thomas Bloom 稱這些結果是「重大新聞」，同時也駁斥了 AI 正在取代數學家的說法，他指出 AI 借鑜了超過一個世紀的數學理論，並由數學家所建構 。