AI 攻克純數學：2026 年兩大突破證明機器現已能發現新數學

2026 年，人工智慧在純數學領域跨越了歷史性的門檻。AI 系統首次獨立產出重大成果，解決了數十年來困擾人類數學家的開放性問題。其中的兩項突破格外引人注目：5 月，OpenAI 反駁了埃爾德什單位距離猜想（Erdős unit-distance conjecture）；7 月，Anthropic 為雅可比猜想（Jacobian conjecture）找到了反例。這些並非漸進式的進步，而是標誌著人機協作數學研究新時代的範式轉移。

兩大突破

OpenAI 反駁埃爾德什單位距離猜想（2026 年 5 月）

2026 年 5 月 20 日，OpenAI 宣布其內部一個通用推理模型，為保羅·埃爾德什（Paul Erdős）於 1946 年提出的「埃爾德什單位距離猜想」找到了反例 。該猜想探討的是，在平面上有 n 個點的情況下，其中距離恰好為一個單位的點對數量最多能到多少。80 年來，數學家們普遍認為，最佳的點位配置大致與方格網格相似 。

OpenAI 的模型證明了這個看法是錯的。它生成了一系列無限的點位建構，其表現優於方格配置，達到了多項式級別的改進——證明了對於無限多個 n 而言，單位距離點對的數量增長速度快於 n^(1+δ)，其中 δ 為某個大於 0 的固定常數 。這項證明運用了複雜的代數數論工具，包括 Golod-Shafarevich 理論與無限類域塔理論——這些工具過去從未被用來解決這個幾何問題 。

該結果由一個外部數學家團隊驗證，其中包括湯瑪斯·布魯姆（Thomas Bloom）——正是那位曾公開指出 OpenAI 先前錯誤宣稱的研究者 。一份經人類梳理的配套論文已發表在 arXiv 上 。普林斯頓大學數學家威爾·薩溫（Will Sawin）迅速改進了常數，指出指數至少可達 n^1.014 。菲爾茲獎得主蒂莫西·高爾斯（Tim Gowers）是驗證該證明的九位外部數學家之一 。

Anthropic 的 Claude Fable 5 找到雅可比猜想反例（2026 年 7 月）

2026 年 7 月 19 日，任職於 Anthropic 的數學家 萊文特·阿爾珀格（Levent Alpöge） 在社群平台 X 上宣布，他利用 Anthropic 的 Claude Fable 5 模型，為「雅可比猜想」找到了一個反例。這個猜想自奧特-海因里希·凱勒（Ott-Heinrich Keller）於 1939 年提出以來，已經困擾了數學界 87 年 。該猜想在菲爾茲獎得主史蒂芬·斯梅爾（Stephen Smale）1998 年列出的「下一世紀數學問題」清單中排名第 16 位，其核心主張是：若一個從 C^n 到 C^n 的多項式映射其雅可比行列式為非零常數，則該映射必定是全域可逆的 。

這個反例是一個極其簡潔的216 字元多項式映射，從 C³ 映射到 C³，其雅可比行列式恆等於 -2，但它卻將三個不同的輸入三元組映射到同一個輸出，從而推翻了全域可逆的結論 。在阿爾珀格發布貼文後的幾小時內，世界各地的數學家便獨立驗證了這一結果，並且在不到 24 小時內，就有人使用 Lean 證明輔助工具完成了形式化驗證 。

包括 陶哲軒（Terence Tao） 和 蒂莫西·高爾斯 在內的著名數學家都對這一成果給予了高度評價 。陶哲軒還發表了關於該反例的幾何分析 。值得注意的是，二維版本的雅可比猜想目前仍然懸而未決 。

這些結果對數學未來的意義

AI 現在能夠產生真正新穎的證明

這兩項突破都涉及深層的概念躍進，而不僅僅是計算輔助。反駁單位距離猜想需要 AI 將代數數論與組合幾何連結起來——這是人類數學家從未建立過的聯繫 。而雅可比猜想反例的構造，則需要巧妙地建立一個具有特定代數性質的多項式映射 。

人機夥伴關係模式展現強大潛力

這些成果指向一個未來：AI 扮演的是「創意協作者」的角色，而非替代者。在雅可比猜想的案例中，一位傑出的數學家引導了 AI 並識別出其輸出的重要意義 。而在 OpenAI 的案例中，模型運作得更為自主，但仍需要人類驗證 。這種夥伴關係模式允許 AI 探索人類無法有效遍歷的巨大搜索空間，同時人類則提供直覺、判斷和驗證。

變革步伐正在急劇加速

OpenAI 隨後於 2026 年 8 月宣布，同系列的內部推理模型已在數學和理論電腦科學領域的 10 個重大問題 上取得了進展，涵蓋高維幾何、編碼理論、群論、算子代數、量子複雜度、格密碼學以及極值組合學等領域 。觀察家們已將此描述為 AI 驅動的數學「新黃金時代」的來臨 。

重要的保留與限制

需注意，雅可比猜想反例僅適用於 3 維及以上空間——原猜想在二維情況下仍然成立 。此外，部分結果尚未經歷傳統管道完整的同儕審查，且並非所有宣稱都已完全發表 。但總體趨勢是明確的：AI 已從數學助理跨越成為數學發現者，其在研究中的角色勢必將快速擴展。

更宏觀的圖景

2026 年的這些突破，是 AI 數學能力快速進展的必然結果。2025 年 7 月，AI 模型首次解答了國際數學奧林匹克競賽（IMO）六道題中的五題 。到了 2026 年初，模型已能達到 IMO 金牌水準 。現在，AI 正在研究前沿產出成果——解決那些定義了一個個職業生涯的難題。

正如數學家陶哲軒所言，雅可比猜想結果是人機協作的一個里程碑 。模型並非獨立工作，但這種夥伴關係產生了人類或機器都無法獨立實現的成果。這種模式——由 AI 探索引導人類直覺，再由形式化證明輔助工具加以驗證——或許將定義數學發現的未來。