AI推翻87年未解數學猜想：雅可比猜想在三維以上空間被證偽

什麼是雅可比猜想？（Jacobian conjecture）

雅可比猜想是代數幾何領域一個歷史悠久的核心問題，最早由 Ludwig Kraus 於 1884 年針對兩個變量提出，1939 年由 Ott-Heinrich Keller 完整推廣至 N 個變量 。其核心主張如下：

若一個多項式函數 F: ℂⁿ → ℂⁿ 的 雅可比行列式（即其偏導數矩陣的行列式）在定義域內處處為一個非零常數，那麼 F 必定是一個 多項式自同構 —— 也就是說，它存在一個多項式逆映射，因此是雙射的 。

這類滿足「雅可比行列式為非零常數」條件的映射，被稱為 Keller 映射。

雅可比猜想在數學界地位崇高，曾被 Stephen Smale 列入 1998 年「21 世紀數學問題」清單中的第 16 號，多年來吸引無數數學家嘗試證明，卻也以「充斥大量錯誤證明」而聞名 。

Levent Alpöge 如何用 Claude Fable 5 推翻猜想？

2026 年 7 月 19 日至 20 日的夜間，數學家 Levent Alpöge —— 一位曾任哈佛大學研究員、現任職於 Anthropic 的數論專家 —— 正在觀看 FIFA 世界盃俱樂部決賽。期間，他的友人 Akhil Mathew 向他提起了雅可比猜想 。

Alpöge 當下便請教了 Anthropic 的 Claude Fable 5 模型。結果，模型並未給出證明，而是直接回傳了一個具體的 216 字符多項式映射，該映射滿足「雅可比行列式為非零常數」的條件，卻 不是單射，從而直接違反了猜想的結論 。

Alpöge 隨後在 X 平台上發文宣布這項結果，寫道：「嗨，雅可比猜想是錯的，感謝我的好友 Akhil 提問，也感謝我的另一位好友 Fable 在世界盃決賽期間的努力。」

具體的反例內容

該反例是一個明確的多項式映射 F: ℂ³ → ℂ³，定義如下 ：

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

此映射的兩個關鍵性質 ：

• 雅可比行列式：det Jac F = −2（非零常數），因此 F 是一個 Keller 映射。
• 非單射性：以下三個不同的輸入點，全部映射到同一個輸出點 (-1/4, 0, 0)：
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

由於一個非單射的映射不可能存在多項式逆映射（也無法有任何逆映射），因此 F 直接構成雅可比猜想的反例。此構造在所有特徵為零的體上都有效，因為所有係數和見證點均為有理數 。

一份配套的 預印本（日期為 2026 年 7 月 20 日）提供了完整的代數驗證，確定了 F 的整體幾何結構，並證明其非真性集合（nonproperness set）是一個超曲面——這正是該映射無法成為多項式自同構的機制 。該論文還進一步構造了無窮多個此類反例族 。

二變量情形：仍是開放問題

n = 2（兩個複變量）的雅可比猜想 截至 2026 年 7 月仍然是開放問題。此反例僅否定了維度 n ≥ 3 的情形 。

當前驗證與同儕審查狀態（截至 2026 年 7 月 22 日）

• 數學上可信賴：反例是明確且可機械驗證的。數學界正審慎看待這項成果 。已在 Lean 4 中完成形式化驗證，並通過了持續整合構建 。
• 尚無同儕審查出版：截至最新報導，尚無經期刊審查的論文或 arXiv 預印本公開 。相關資料目前僅存在於社群媒體貼文及 ulam.ai 上的配套 PDF，尚未經過正式的學術期刊審查流程。
• 維基百科已更新：雅可比猜想的維基百科條目已將此反例列入，指出其否定了 N > 2 時猜想的正確性 。
• 學界評估：評論者普遍認為，該數學結果 幾乎可以確定是正確的，但正式的學術接受與引用仍需等待 。這項成果被歸功於 人機協作，而非 Claude 單獨完成 。

總結：雅可比猜想在維度 ≥ 3 時已被證偽。二變量情形仍懸而未決。該反例在數學上可靠且經獨立驗證，但尚未完成正式的同儕審查。