AI 生成的反例推翻 Erdős 80 年猜想

這個問題看起來簡單，但其實牽涉到離散幾何、組合數學與數論的深層結構。

Erdős 的原始猜想

Erdős 提出了一個經典構造：將點排成大約 √n × √n 的方格。

這種配置可以產生大約

n^(1 + Ω(1 / log log n))

個單位距離對。

他猜測這其實已經「接近最佳」。換句話說，ν(n) 應該只會比 n 稍微快一點點地成長，而不會出現固定次方的提升。

另一方面，1984 年 Spencer、Szemerédi 與 Trotter 證明了一個重要上界：

ν(n) = O(n^(4/3))。

這意味著真實答案必定落在

• 接近線性的下界
• n^(4/3) 的上界

之間。如何縮小這個差距，長期以來都是離散幾何的重要公開問題。

AI 提出的反例

OpenAI 的研究結果指出：

對某個固定 δ > 0，存在無限多個 n，使得

ν(n) ≥ n^(1+δ)。

這一點非常關鍵。

因為 Erdős 的猜想允許的最大成長率是

n^(1 + o(1))

也就是說指數必須逐漸趨近 1。

但 n^(1+δ) 的 δ 是固定正數，因此當 n 足夠大時，兩者差距會越來越大。只要存在這樣的構造，就直接否定了 Erdős 的猜想。

簡單來說：

AI 找到了一種點的排列方式，可以產生比過去認為可能的還要多得多的單位距離。

核心想法：從幾何轉向數論

過去多數構造依賴幾何圖形，例如格點或網格。

這次的方法完全不同：它來自代數數論。

證明背後用到了幾個高度抽象的工具：

• 全實數域（totally real number fields）形成的無限類域塔
• Golod–Shafarevich 型構造，用來保證某些數域塔可以無限延伸
• CM 域（在數域中加入虛數單位 i）

透過這些結構，可以構造出高維格子，其中存在大量「範數為 1」的元素。

當這些代數結構被映射到歐幾里得平面時，這些範數為 1 的關係就對應為：

兩點之間距離正好為 1 的邊。

這使得單位距離的數量可以遠超傳統網格構造。

數學家的人類驗證

AI 生成的結果發布後，多位知名數學家對論證進行檢視，並發表了人類整理與驗證的證明摘要。

參與撰寫與評論的學者包括：

• Noga Alon
• Timothy Gowers
• Thomas Bloom
• Will Sawin
• Melanie Matchett Wood

以及其他研究者。

他們的文件整理了證明的核心想法，並說明這個構造如何結合 Golod–Shafarevich 理論與相關代數數論成果，最終導向平面上的幾何配置。

為什麼被稱為 AI 的里程碑

這項成果受到高度關注的一個原因是：

它被描述為AI 系統首次提出一個全新的證明，解決數學界長期未解的重要猜想。

過去一些 AI 數學實驗中，模型雖然找到正確答案，但後來發現文獻中早已有類似解法。而在這個案例中，研究者將結果呈現為真正新的反例，針對自 1946 年以來存在的猜想。

如果最終經過更廣泛的學界檢驗並被完全接受，這將代表一個重要轉變：

AI 不只是協助計算或驗證，而開始直接參與數學發現本身。

接下來會發生什麼？

即使已有摘要與初步驗證，像這樣規模的數學成果通常仍需長時間審查。

接下來數學界可能會：

• 重新檢查證明細節
• 嘗試簡化或重新表述論證
• 研究這個構造對其他幾何與組合問題的影響

無論最終結論如何，這項工作已經展示了一種新的研究模式：

AI 探索龐大的數學搜尋空間，人類負責理解、驗證並整理結果。

這可能改變未來數學研究的方式。