數學家世界盃決賽夜用AI破解87年難題！雅可比猜想被推翻引數學界震撼

雅可比猜想（Jacobian conjecture）係咩？

雅可比猜想係代數幾何入面一個核心問題，最早由德國數學家Ludwig Kraus喺1884年提出雙變數版本，然後由Ott-Heinrich Keller喺1939年推廣到N個變數 。呢個猜想係話：如果一個多項式函數 F: ℂⁿ → ℂⁿ 嘅雅可比行列式（即係佢偏導數矩陣嘅行列式）係一個處處非零嘅常數，咁呢個函數就一定要係一個多項式自同構（polynomial automorphism）——即係話佢有一個多項式逆函數，所以係雙射嘅 。呢類映射叫做Keller映射。呢個猜想仲係Stephen Smale喺1998年列出嘅「下世紀數學問題」入面排第16位，出名吸引咗好多錯誤嘅證明 。

Levent Alpöge點樣用Claude Fable 5？

2026年7月19日至20日嘅夜晚，數學家Levent Alpöge——一位數論學家，之前係哈佛大學學會初級研究員，而家喺Anthropic做嘢——一邊睇緊FIFA世界盃決賽，一邊俾朋友Akhil Mathew問起雅可比猜想 。Alpöge於是叫Anthropic嘅Claude Fable 5模型幫手研究呢個問題。個模型返咗一個具體嘅216個字符嘅多項式映射，佢滿足咗有常數非零雅可比行列式嘅條件，但係唔係單射，所以違反咗猜想嘅結論 。

Alpöge喺2026年7月19日將結果放上X，寫話：「你好呀，雅可比猜想係錯嘅，多謝我嘅好朋友Akhil問起佢，同埋我另一個好朋友Fable喺世界盃決賽期間幫手做嘢」 。

具體反例係點樣？

呢個反例係一個多項式映射 F: ℂ³ → ℂ³，具體定義如下 ：

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

有兩個關鍵性質成立咗 ：

• 雅可比行列式：det Jac F = −2（一個非零常數），所以F係一個Keller映射。
• 非單射：三個唔同嘅輸入點都映射到同一個輸出 (-1/4, 0, 0)：
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

因為一個非單射嘅映射冇可能有多項式（或者任何）逆函數，所以F就推翻咗雅可比猜想。呢個構造喺任何特徵為零嘅域上都成立，因為所有係數同佐證點都係有理數 。

一份配套嘅預印本（日期係2026年7月20日）提供咗完整嘅代數驗證，確定咗F嘅整體幾何結構，仲證明咗F嘅非正規集合係一個超曲面——呢個就係個映射唔能夠成為多項式自同構嘅機制 。篇論文仲進一步構造咗無限族嘅呢類反例 。

雙變數情況嘅現狀

n = 2（兩個複變數）嘅雅可比猜想到2026年7月仍然係一個未解決嘅問題。呢個反例只係推翻咗維數 n ≥ 3 嘅情況 。

目前嘅驗證同行評審狀況

截至2026年7月22日，已知嘅情況如下：

• 數學上可信：呢個反例係明確嘅，可以機械式檢查。數學家對佢好認真看待 。一份用 Lean 4 做嘅形式化驗證已經完成，並且通過咗連續整合測試 。
• 未有同行評審出版：截至最新報道，未有出版嘅同行評審論文或者arXiv預印本 。呢啲材料只係以社交媒體貼文同埋ulam.ai上面嘅配套PDF形式存在，仲未經過正式嘅期刊審查。
• 維基百科已經更新：雅可比猜想嘅維基百科條目而家已經列舉咗呢個反例，話猜想喺N > 2嘅情況下被推翻 。
• 學術界評價：評論員嘅共識係呢個數學結果幾乎可以肯定係正確嘅，但係截至呢個日期，正式嘅學術記錄接受同引用仲有待確認 。呢個結果歸功於人機協作，而唔係Claude自己獨立完成 。

總結：雅可比猜想喺維數 ≥ 3 嘅情況下似乎真係錯嘅。兩個變數嘅情況仍然未解決。呢個反例數學上係合理嘅，而且已經被獨立驗證，但係仲未完成正式嘅同行評審。