金山木博士，北京協和醫學院的博士後研究員兼神經外科住院醫師，用OpenAI的GPT-5.6-Sol模型，喺ChatGPT Work平台上自主運行，成功證明了Crouzeix猜想。呢個猜想由法國數學家Michel Crouzeix喺2004年提出，過去廿幾年難倒咗全球頂尖嘅數值分析專家。

一個困擾數學界22年嘅難題

Crouzeix猜想嘅內容係：對於任何正方形複數矩陣A及多項式p，算子範數||p(A)||最多只係p喺A嘅數值範圍（numerical range）上最大絕對值嘅兩倍。之前最好嘅上限係1+√2（大約2.414），呢個結果係2017年喺美國數學研究所嘅一個工作坊上得出嘅——當時頂尖專家都無法將個差距收窄到精確常數2。

呢個問題處於矩陣理論同泛函分析嘅交界，屬於數值線性代數嘅範疇。雖然好專門，但係基礎性嘅問題，過去廿年令到唔少專家束手無策。

從腦超聲波到數學突破

金山木本來冇打算創造數學歷史。佢係研究經顱超聲波——即係超聲波點樣穿透顱骨——嘅過程中，需要用到矩陣分析，結果就遇到咗Crouzeix猜想。佢所有高等數學都係為咗超聲波研究而自學嘅；佢本科讀地質（北京大學），之後喺協和醫學院讀醫，完全冇受過正統嘅高等數學訓練。

16小時自主運算

金山木參考咗OpenAI之前解決Cycle Double Cover猜想時用嘅提示策略。佢設計咗一個多智能體、對抗性嘅設定，有四項指令：

1. 離線工作： 模型喺物理斷網環境下運行，避免佢從網絡攞現成證明或解題思路。
2. 平行探索： 系統產生大量子智能體，各自探索真正唔同嘅證明策略，避免太早集中喺單一方法。
3. 對抗性審計： 候選證明要經過對抗性檢查，迫使模型自己搵錯同修正。
4. 唔准提早停止： 系統被指令唔可以停低，直到有完整證明通過晒所有檢查。

金山木啟動系統之後就走開咗。大約16個鐘唔間斷運算——期間GPT-5.6-Sol執行咗數千次生成、假設檢驗、推翻同重建——最終得出一個完整證明。

同專家們預期嘅複雜估算唔同，呢個論證用咗一種巧妙嘅抽樣策略，將問題簡化為一個簡單嘅正性條件。睇過嘅人都話，呢個方法好優雅，而且出乎意料。

專家驗證

康奈爾大學嘅數值分析師Alex Townsend，過去一年成日叫ChatGPT去解Crouzeix猜想，但每次都喺同一道引理上卡住。2026年7月30日，佢又問一次——但今次ChatGPT俾咗個連結，係7月27日上載嘅預印本，標題係〈The Numerical Range Is a 2-Spectral Set〉。

Townsend同華盛頓大學嘅Anne Greenbaum帶住懷疑去睇呢份預印本。幾個鐘之後，佢哋得出結論：證明係正確嘅。Michel Crouzeix本人——22年前提出呢個猜想嘅數學家——睇完份手稿之後，亦確認咗正確無誤。

開源與獨立驗證

金山木將整個研究流程全部開源，喺GitHub上公開咗最終論文、精確嘅提示詞、所有手稿迭代版本、Lean 4形式化證明代碼，以及公理審計報告。

更令人驚訝嘅係，金山木嘅預印本出現8日後，Emiel Lorist同Felix Schwenninger——佢哋亦用咗ChatGPT 5.6嚟探索策略——喺arXiv上發佈咗另一個獨立證明，互相印證咗個結果。

呢件事對AI同科學嘅意義

金山木嘅故事有幾個值得留意嘅地方。佢話俾我哋知，一個冇受過正統訓練嘅非專家，只要為前沿AI模型設計好適當嘅自主工作流程，都可以對連職業專家都搞唔掂嘅問題作出真正貢獻。呢件事亦展示咗設計良好嘅自主推理系統嘅威力：金山木唔係將AI當做搜尋工具或者聊天機械人——佢設計咗一個系統，可以喺冇人類干預嘅情況下，自己探索、檢查同改進自己嘅工作，而且持續好多個鐘。

呢個問題唔係玩具或者謎題；佢係一個存在咗22年嘅開放問題，而佢嘅證明已經得到提出者本人同其他頂尖專家嘅審閱同確認。

金山木博士，北京協和醫學院的博士後研究員兼神經外科住院醫師，用OpenAI的GPT-5.6-Sol模型，喺ChatGPT Work平台上自主運行，成功證明了Crouzeix猜想。呢個猜想由法國數學家Michel Crouzeix喺2004年提出，過去廿幾年難倒咗全球頂尖嘅數值分析專家。

一個困擾數學界22年嘅難題

Crouzeix猜想嘅內容係：對於任何正方形複數矩陣A及多項式p，算子範數||p(A)||最多只係p喺A嘅數值範圍（numerical range）上最大絕對值嘅兩倍。之前最好嘅上限係1+√2（大約2.414），呢個結果係2017年喺美國數學研究所嘅一個工作坊上得出嘅——當時頂尖專家都無法將個差距收窄到精確常數2。

呢個問題處於矩陣理論同泛函分析嘅交界，屬於數值線性代數嘅範疇。雖然好專門，但係基礎性嘅問題，過去廿年令到唔少專家束手無策。

從腦超聲波到數學突破

金山木本來冇打算創造數學歷史。佢係研究經顱超聲波——即係超聲波點樣穿透顱骨——嘅過程中，需要用到矩陣分析，結果就遇到咗Crouzeix猜想。佢所有高等數學都係為咗超聲波研究而自學嘅；佢本科讀地質（北京大學），之後喺協和醫學院讀醫，完全冇受過正統嘅高等數學訓練。

16小時自主運算

金山木參考咗OpenAI之前解決Cycle Double Cover猜想時用嘅提示策略。佢設計咗一個多智能體、對抗性嘅設定，有四項指令：

1. 離線工作： 模型喺物理斷網環境下運行，避免佢從網絡攞現成證明或解題思路。
2. 平行探索： 系統產生大量子智能體，各自探索真正唔同嘅證明策略，避免太早集中喺單一方法。
3. 對抗性審計： 候選證明要經過對抗性檢查，迫使模型自己搵錯同修正。
4. 唔准提早停止： 系統被指令唔可以停低，直到有完整證明通過晒所有檢查。

金山木啟動系統之後就走開咗。大約16個鐘唔間斷運算——期間GPT-5.6-Sol執行咗數千次生成、假設檢驗、推翻同重建——最終得出一個完整證明。

同專家們預期嘅複雜估算唔同，呢個論證用咗一種巧妙嘅抽樣策略，將問題簡化為一個簡單嘅正性條件。睇過嘅人都話，呢個方法好優雅，而且出乎意料。

專家驗證

康奈爾大學嘅數值分析師Alex Townsend，過去一年成日叫ChatGPT去解Crouzeix猜想，但每次都喺同一道引理上卡住。2026年7月30日，佢又問一次——但今次ChatGPT俾咗個連結，係7月27日上載嘅預印本，標題係〈The Numerical Range Is a 2-Spectral Set〉。

Townsend同華盛頓大學嘅Anne Greenbaum帶住懷疑去睇呢份預印本。幾個鐘之後，佢哋得出結論：證明係正確嘅。Michel Crouzeix本人——22年前提出呢個猜想嘅數學家——睇完份手稿之後，亦確認咗正確無誤。

開源與獨立驗證

金山木將整個研究流程全部開源，喺GitHub上公開咗最終論文、精確嘅提示詞、所有手稿迭代版本、Lean 4形式化證明代碼，以及公理審計報告。

更令人驚訝嘅係，金山木嘅預印本出現8日後，Emiel Lorist同Felix Schwenninger——佢哋亦用咗ChatGPT 5.6嚟探索策略——喺arXiv上發佈咗另一個獨立證明，互相印證咗個結果。

呢件事對AI同科學嘅意義

金山木嘅故事有幾個值得留意嘅地方。佢話俾我哋知，一個冇受過正統訓練嘅非專家，只要為前沿AI模型設計好適當嘅自主工作流程，都可以對連職業專家都搞唔掂嘅問題作出真正貢獻。呢件事亦展示咗設計良好嘅自主推理系統嘅威力：金山木唔係將AI當做搜尋工具或者聊天機械人——佢設計咗一個系統，可以喺冇人類干預嘅情況下，自己探索、檢查同改進自己嘅工作，而且持續好多個鐘。

呢個問題唔係玩具或者謎題；佢係一個存在咗22年嘅開放問題，而佢嘅證明已經得到提出者本人同其他頂尖專家嘅審閱同確認。