AI破解87年数学难题：雅可比猜想被推翻

Levent Alpöge是如何使用Claude Fable 5的？

2026年7月19日至20日的夜晚，当世界各地的人们正在观看FIFA俱乐部世界杯决赛时，数学家Levent Alpöge——一位曾在哈佛学会担任初级研究员、现任职于Anthropic的数论专家——应朋友Akhil Mathew的请求，让Anthropic的Claude Fable 5模型着手解决雅可比猜想 。模型返回了一个具体的216字符多项式映射，该映射满足常数非零雅可比行列式的条件，但不是单射，从而推翻了猜想的结论 。

Alpöge于2026年7月19日在X上发布了结果，写道：“大家好，雅可比猜想是错的，感谢我的好朋友Akhil提出了这个问题，也感谢我的另一个好朋友Fable在世界杯决赛期间完成了这项工作” 。

具体的反例

反例是一个明确的从ℂ³ 到 ℂ³的多项式映射 F，具体如下 ：

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

该映射满足两个关键性质 ：

• 雅可比行列式：det Jac F = −2（非零常数），因此F是一个Keller映射。
• 非单射性：三个不同的输入点均映射到同一个输出点 (-1/4, 0, 0)：
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

由于非单射的映射不可能有多项式（或任何）逆映射，F直接与雅可比猜想相矛盾。该构造在所有特征为零的域上均成立，因为所有系数和检验点都是有理数 。

一篇配套的预印本（日期为2026年7月20日）提供了完整的代数验证，确定了F的全局几何结构，并证明了F的非恰当性集是一个超曲面——这正是映射无法成为多项式自同构的机制 。该论文还进一步构造了无限族这样的反例 。

双变量情形现状

对于n = 2（两个复变量）的雅可比猜想，截至2026年7月，仍然是一个未解决的开放问题。该反例仅推翻了维度n ≥ 3的猜想 。

当前验证与同行评议状况

截至2026年7月22日，已知情况如下：

• 数学上可信：反例是明确的且可通过机械方式验证。数学家们正认真对待这一结果 。已经完成了在 Lean 4 中的形式化验证，并顺利通过了持续集成构建 。
• 尚无同行评议的出版物：截至最新报告，没有已发表的同行评议论文或arXiv预印本 。相关内容目前仅以社交媒体帖子和ulam.ai上的PDF附件形式存在，尚未经过正式期刊审查。
• 维基百科已更新：雅可比猜想的维基百科条目现已将这一反例列为对N > 2猜想的否定 。
• 学界评价：评论者普遍认为该数学结果几乎可以肯定是正确的，但正式的学术接受和引用仍有待完成 。这一成果被归功于人机协作，而非Claude的独立工作 。

总结：雅可比猜想在维度 ≥ 3的情况下似乎确实不成立。双变量情形仍然悬而未决。该反例在数学上是可靠的，并已通过独立验证，但尚未完成正式的同行评议。