AI给出反例：80年前的“单位距离猜想”被推翻

埃尔德什的原始猜想

埃尔德什提出了一种经典构造：

把点排列成大约 √n × √n 的网格。

这种排列可以产生大约

n^(1 + Ω(1 / log log n))

个单位距离对。

他猜测，这种结果已经接近理论极限，也就是说：

ν(n) 的增长应该只会比线性 n 稍微快一点，但不会达到 n^(1+δ) 这种固定指数的增长。

与此同时，1984 年 Spencer、Szemerédi 和 Trotter 证明了一个重要的上界：

ν(n) = O(n^(4/3))。

这导致一个长期存在的巨大“夹缝”：

• 下界接近线性
• 上界约为 n^(4/3)

数学家们几十年来都在试图缩小这个差距。

AI提出的反例

OpenAI 的研究表明：

存在一类新的平面点集，使得

ν(n) ≥ n^(1+δ)

其中 δ > 0 为固定常数，并且这种构造在无限多个 n 上成立。

这与埃尔德什的猜想直接矛盾。

因为他的猜想允许的增长率只有

n^(1+o(1))

而新的结果给出了

n^(1+δ)

两者的差别看起来微妙，但数学上非常关键：当 n 足够大时，这个指数差会导致数量级差距不断扩大。

因此，这一构造构成了对猜想的明确反例。

核心思路：从几何转向代数数论

过去的大多数构造依赖于几何排列或整数格点结构。

新的方法完全不同，它利用的是代数数论（algebraic number theory）。

证明中涉及几个关键数学结构：

• **全实数域（totally real number fields）**形成的无限类域塔
• Golod–Shafarevich 型构造，用于保证类域塔可以无限延伸
• CM 域（complex multiplication fields），通过在数域中加入虚数单位 i 构造

这些结构会产生高维格点（lattices），其中包含大量范数为 1 的元素。

当这些关系被映射到欧几里得平面时，范数为 1 的关系就对应于点之间距离为 1 的边。

换句话说，数论结构提供了远比传统网格丰富得多的距离关系。

数学家的人类验证

AI生成证明后，多位著名数学家整理并发布了一份人类可读、经过验证的证明摘要。

参与者包括：

• Noga Alon
• Timothy Gowers
• Thomas Bloom
• Will Sawin
• Melanie Matchett Wood
• 以及其他研究者

这份文档总结了证明的主要思想，并解释了其与既有数论研究（如 Golod–Shafarevich 理论和类域塔）的联系。

为什么这一结果引起广泛关注

原因不只是数学问题本身。

更引人注目的是：证明的核心构造来自一个通用推理型 AI 模型。

过去，AI在数学上的一些成果后来被发现其实早已有类似证明存在于文献中。

而这一次，研究被描述为：

• 针对一个 自 1946 年以来的著名开放猜想
• 给出了 新的反例构造
• 并由数学家整理和核查

因此，一些研究者将其视为AI在数学发现中的重要里程碑。

接下来会发生什么

在数学界，任何重大证明都需要时间接受严格审查。

研究者可能会：

• 重新检查证明细节
• 尝试简化或推广构造
• 研究其对其他离散几何问题的影响

无论最终评价如何，这项工作都展示了一种新的研究模式：

AI探索数学结构，人类数学家进行解释、验证与推广。

这种协作模式可能正在改变数学发现的方式。