ศึก AI ชน AI เมื่อ Astra และ Claude Fable เขย่าวงการคณิตศาสตร์

Jacobian conjecture เป็นปัญหาเปิดในเรขาคณิตพีชคณิตที่ Ott-Heinrich Keller เสนอในปี 1939 และอยู่ในอันดับที่ 16 ของรายชื่อปัญหาสำคัญแห่งศตวรรษที่ 21 ของ Stephen Smale นักคณิตศาสตร์เจ้าของเหรียญฟีลด์ส

โจทย์โดยสรุปถามว่า หากแผนที่พหุนามจาก (\mathbb{C}^3) ไปยัง (\mathbb{C}^3) มีดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนเป็นค่าคงที่ที่ไม่เท่ากับศูนย์ทุกจุด แผนที่นั้นจะต้องมีอินเวอร์สทั่วทั้งโดเมนหรือไม่ ตลอด 87 ปีที่ผ่านมา นักคณิตศาสตร์ยังไม่พบทั้งข้อโต้แย้งที่หักล้างโจทย์และบทพิสูจน์ที่ยืนยันโจทย์

Alpöge ซึ่งทำงานร่วมกับ Claude Fable 5 พบแผนที่พหุนาม (F=(P,Q,R):\mathbb{C}^3\to\mathbb{C}^3) ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนเท่ากับ −2 ซึ่งเป็นค่าคงที่ไม่เป็นศูนย์ แต่กลับส่งอินพุตที่แตกต่างกันสามจุดไปยังเอาต์พุตเดียวกัน นั่นหมายความว่าแผนที่ดังกล่าวไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง และเป็นตัวอย่างโต้แย้งโดยตรงต่อ Jacobian conjecture

ผลลัพธ์ได้รับการเขียนให้อยู่ในรูปแบบ Lean 4 ซึ่งเป็นภาษาสำหรับตรวจสอบการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ด้วยคอมพิวเตอร์ และได้รับการตรวจสอบภายในหนึ่งวันโดยนักคณิตศาสตร์ รวมถึง Kevin Buzzard จาก Imperial College London หลายสำนักมองว่านี่คือปัญหาคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุดเท่าที่ AI เคยมีส่วนช่วยแก้

อย่างไรก็ตาม คำอธิบายที่แม่นยำกว่าคือ Claude Fable 5 ช่วยนักคณิตศาสตร์ค้นพบตัวอย่างโต้แย้ง ขณะที่มนุษย์ยังมีบทบาทสำคัญในการกำหนดโจทย์ ตรวจสอบแนวคิด และทำให้ผลลัพธ์อยู่ในรูปแบบที่พิสูจน์ได้ ไม่ใช่การที่โมเดลทำงานอย่างอิสระโดยไม่ต้องมีการกำกับดูแล

Astra ของ OpenAI อ้างสร้างผลลัพธ์ใหม่ให้ 10 ปัญหา

วันที่ 1 สิงหาคม 2026 OpenAI เผยแพร่บทความวิจัยระบุว่า Astra ซึ่งเป็นโมเดลรุ่นใหญ่ถัดไปที่ยังไม่เปิดให้ใช้งานทั่วไป สร้างผลลัพธ์ใหม่ให้ปัญหาเปิด 10 ข้อในคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี โดยแต่ละปัญหาแทบไม่มีความคืบหน้าหลักมาอย่างน้อย 10 ปี และหลายข้อเก่ากว่านั้นมาก

OpenAI ระบุว่าต้นทุนโทเคนสำหรับการค้นหาคำตอบทั้ง 10 ข้ออยู่ที่ประมาณ 2,000 ดอลลาร์ หากคำนวณตามอัตราค่า API ที่บริษัทอ้างถึง บริษัทเผยแพร่ต้นฉบับรวม 249 หน้า พร้อมใบรับรองการพิสูจน์ใน Lean 4 ที่ตรวจสอบได้ด้วยเครื่องบน GitHub

ปัญหาที่ Astra รายงานว่าได้ผลลัพธ์ใหม่ ได้แก่

• กลุ่มที่ไม่เป็นโซฟิก (non-sofic group) ในทฤษฎีกลุ่ม: การสร้างตัวอย่างกลุ่มที่ไม่เป็นโซฟิกอย่างชัดเจนเป็นครั้งแรก คำถามนี้เปิดมาตั้งแต่ Mikhail Gromov เสนอแนวคิดความเป็นโซฟิกในปี 1999
• ขอบเขตล่างของวงจรสำหรับ permanent ในสาขาความซับซ้อนของวงจร
• การจัดเรียงทรงกลมในมิติสูง: ขอบเขตบนใหม่ของความหนาแน่นการจัดเรียงทรงกลม ซึ่งลงไปถึงระดับเกณฑ์ Cohn–Elkies
• รหัสไบนารีและรหัสทรงกลม: การปรับปรุงขอบเขตบนแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลจากผลลัพธ์คลาสสิก
• พีชคณิตตัวดำเนินการ: ตัวอย่างโต้แย้งต่อข้อคาดการณ์ความแข็งแกร่งของ Connes ในพีชคณิตฟอน นอยมันน์ของกรุป
• การทำซ้ำแบบขนานในระบบควอนตัม: ผลลัพธ์ที่ครอบคลุมเกมพัวพันทั้งหมด
• การเข้ารหัสด้วยแลตทิซ: ผลลัพธ์ใหม่เกี่ยวกับปัญหาเวกเตอร์ใกล้ที่สุด
• คอมบิเนโทริกส์เชิงสุดขั้ว: การแก้ปัญหาของ Erdős หมายเลข 146, 180 และ 183
• เรขาคณิตมิติสูง: การสร้างโครงสร้างทางเรขาคณิตรูปแบบใหม่
• ข้อคาดการณ์ของ Ehrhart: ผลลัพธ์เกี่ยวกับการนับจุดในแลตทิซ

คลังเอกสารของ OpenAI ระบุจำนวนขั้นตอนที่ยังเว้นไว้ด้วยคำว่า “sorry” เป็นศูนย์ หมายความว่าทุกขั้นตอนของการพิสูจน์ทั้ง 10 ชุดที่ถูกทำให้อยู่ในรูปแบบทางการได้รับการตรวจสอบในระบบ Lean แล้ว

แต่คำว่า “แก้ปัญหา” ในที่นี้ควรอ่านควบคู่กับคำว่า “OpenAI อ้าง” หรือ “OpenAI รายงาน” เพราะผลงานยังอยู่ระหว่างการตรวจสอบโดยนักวิจัยภายนอกและยังไม่ผ่านกระบวนการพิจารณาโดยผู้ทรงคุณวุฒิอย่างเป็นทางการ

Claude Fable ตอบโต้: ทำซ้ำได้ 5 จาก 10 ข้อ

ภายใน 24 ชั่วโมงหลัง OpenAI ประกาศ Alpöge โพสต์บน X ว่าเขาใช้ Claude Fable รุ่นที่เปิดให้สาธารณะใช้งาน ไม่ใช่โมเดลลับหรือรุ่นที่ยังไม่เปิดตัว เพื่อแก้ปัญหาเดียวกับ Astra ได้ 5 จาก 10 ข้อ

ตามคำกล่าวอ้างของ Alpöge

• เขาใช้พรอมต์ทั่วไป ไม่ได้ออกแบบคำสั่งเฉพาะอย่างซับซ้อน
• โมเดลไม่มีสิทธิ์เข้าถึงอินเทอร์เน็ต
• มีมาตรการป้องกันไม่ให้ Claude Fable เห็นคำตอบของ OpenAI
• Fable สร้างผลลัพธ์ได้เองภายในเวลาไม่กี่ชั่วโมง
• ปัญหาที่เกี่ยวข้องครอบคลุมความซับซ้อนของวงจรเลขคณิต การทำซ้ำแบบขนานในระบบควอนตัม การเข้ารหัสด้วยแลตทิซ และปัญหาเวกเตอร์ใกล้ที่สุด
• ใน 5 ผลลัพธ์ มีเพียงหนึ่งข้อที่ใช้อาร์กิวเมนต์ใกล้เคียงกับของ Astra อย่างมีนัยสำคัญ ส่วนอีก 4 ข้ออาจเป็นการพิสูจน์ที่เป็นอิสระต่อกัน

Alpöge ไม่ได้บอกว่า Fable แก้ได้ครบทั้ง 10 ข้อ แต่ต้องการชี้ให้เห็นว่าโมเดลที่เปิดให้บุคคลทั่วไปใช้สามารถทำซ้ำผลลัพธ์ของ Astra ได้เป็นสัดส่วนมาก โดยมีคำแนะนำจากมนุษย์เพียงเล็กน้อย

อย่างไรก็ดี รายละเอียดว่า 5 ข้อที่ Fable ทำซ้ำได้นั้นตรงกับข้อใดบ้างยังไม่ได้รับการเปิดเผยครบถ้วนต่อสาธารณะ รายงานระบุเพียงว่าครอบคลุมหลายสาขา เช่น ความซับซ้อนของวงจรเลขคณิต การทำซ้ำแบบขนานในระบบควอนตัม และการเข้ารหัสด้วยแลตทิซ

สิ่งที่การแข่งขันครั้งนี้กำลังเปลี่ยนแปลง

ต้นทุนกลายเป็นสนามแข่งขันใหม่

ตัวเลข 2,000 ดอลลาร์ทำให้การแข่งขัน AI ไม่ได้วัดกันเฉพาะความสามารถของโมเดล แต่รวมถึงต้นทุนในการค้นพบคำตอบด้วย หากระบบ AI สามารถสร้างผลลัพธ์คณิตศาสตร์ใหม่ได้ในต้นทุนเฉลี่ยราว 200 ดอลลาร์ต่อปัญหา จุดคอขวดของงานวิจัยอาจย้ายจากการ “ค้นพบ” ไปสู่การตรวจสอบ อธิบาย และประเมินความสำคัญของคำตอบ

อย่างไรก็ตาม ตัวเลขดังกล่าวเป็นต้นทุนโทเคนหรือค่า API ตามวิธีคำนวณของ OpenAI ไม่ได้หมายความว่าต้นทุนทั้งหมดของการสร้างโมเดล การวิจัย การคัดเลือกโจทย์ หรือเวลาของนักวิจัยมนุษย์อยู่ในตัวเลขนี้ครบถ้วน

การพิสูจน์ที่เครื่องตรวจสอบได้มีบทบาทมากขึ้น

ทั้งกรณี Jacobian conjecture และผลลัพธ์ของ Astra ถูกทำให้อยู่ในรูปแบบ Lean 4 การพิสูจน์แบบนี้บังคับให้ทุกขั้นตอนถูกเขียนอย่างละเอียดในภาษาที่เครื่องตรวจสอบได้ จึงช่วยลดความเสี่ยงจากข้อผิดพลาดที่ซ่อนอยู่ในคำอธิบายยาว ๆ

การตรวจสอบที่ทำได้ภายในไม่กี่ชั่วโมงหรือไม่กี่วัน แทนที่จะใช้เวลาหลายปี สะท้อนว่าใบรับรองทางคณิตศาสตร์แบบเครื่องตรวจสอบได้อาจกลายเป็นมาตรฐานสำคัญของงานวิจัยบางประเภทในอนาคต แต่ยังเร็วเกินไปที่จะสรุปว่าจะเข้ามาแทนที่การพิจารณาโดยผู้ทรงคุณวุฒิทั้งหมด เพราะมนุษย์ยังต้องประเมินว่าผลลัพธ์นั้นมีความหมายเพียงใด ใช้สมมติฐานอะไร และเชื่อมโยงกับความรู้เดิมอย่างไร

คำถามเรื่องใครคือผู้เขียนผลงาน

กรณี Jacobian conjecture ทำให้เกิดคำถามด้านการระบุผู้สร้างผลงานทันที: ผู้เขียนควรเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ตั้งโจทย์และกำกับโมเดล โมเดล AI เอง หรือบริษัทที่พัฒนาโมเดล

Alpöge ให้เครดิตทั้งเพื่อนร่วมงานที่ชวนพูดถึงปัญหาและ Claude Fable 5 ในโพสต์บน X แต่ปัจจุบันวารสารวิชาการยังไม่มีแนวปฏิบัติที่เป็นมาตรฐานเกี่ยวกับการให้ AI เป็นผู้ร่วมเขียน งานทั้งสองกรณียังถูกเผยแพร่ผ่านโซเชียลมีเดีย GitHub และบล็อกวิจัย มากกว่าผ่านกระบวนการตีพิมพ์แบบดั้งเดิม

ความท้าทายจึงไม่ได้อยู่แค่การถามว่า AI “ฉลาดแค่ไหน” แต่อยู่ที่การจัดสรรเครดิต ความรับผิดชอบต่อข้อผิดพลาด และการออกแบบกระบวนการตรวจสอบที่เหมาะสมกับงานวิจัยซึ่งมนุษย์กับเครื่องทำร่วมกัน

ยังมีอะไรที่ต้องรอการยืนยัน

ทั้งการประกาศของ OpenAI และคำกล่าวอ้างของ Alpöge มาจากบริษัทหรือผู้วิจัยที่เกี่ยวข้องโดยตรง และยังไม่ผ่านการพิจารณาโดยผู้ทรงคุณวุฒิอย่างสมบูรณ์ แม้ใบรับรอง Lean จะเพิ่มความมั่นใจว่าขั้นตอนทางตรรกะที่ถูกทำให้เป็นทางการนั้นตรวจสอบได้ แต่ไม่ได้ตอบคำถามทั้งหมดเกี่ยวกับความใหม่ ความสำคัญ หรือการตีความผลลัพธ์

โดยเฉพาะรายการ 5 ปัญหาที่ Claude Fable ทำซ้ำได้นั้นยังไม่มีการจับคู่กับรายการของ Astra อย่างละเอียดในแหล่งข่าวที่เปิดเผยต่อสาธารณะ ดังนั้นภาพที่ชัดเจนที่สุดในตอนนี้คือ OpenAI แสดงผลงานจากโมเดลที่ยังไม่เปิดตัว ขณะที่ Anthropic พยายามโต้แย้งเรื่องความเหนือกว่าด้วยโมเดลที่ผู้ใช้ทั่วไปเข้าถึงได้แล้ว

ไม่ว่าในท้ายที่สุดผลลัพธ์ทั้งหมดจะได้รับการยอมรับมากน้อยเพียงใด เหตุการณ์ในเดือนกรกฎาคมและสิงหาคม 2026 ก็แสดงให้เห็นแล้วว่าเส้นแบ่งระหว่าง “เครื่องมือช่วยคิด” กับ “ผู้ร่วมค้นพบ” ในงานคณิตศาสตร์กำลังเลือนลงอย่างรวดเร็ว และความเปลี่ยนแปลงนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์ต้องเร่งปรับทั้งวิธีทำวิจัยและวิธีรับรองความรู้ใหม่