OpenAI อ้างพิสูจน์ Navier–Stokes แล้ว แต่การตรวจสอบเพิ่งเริ่มต้น

หากข้ออ้างของ OpenAI ผ่านการตรวจสอบทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวด นี่อาจเป็นหมุดหมายสำคัญของวงการ แต่สถานะในเวลานี้ยังเป็น ข้ออ้างที่ต้องรอการทบทวนโดยอิสระ ไม่ใช่ข้อยุติที่ชุมชนนักคณิตศาสตร์รับรองแล้ว

OpenAI ระบุว่าระบบภายในซึ่งยังไม่เปิดเผยต่อสาธารณะ ประสาน AI เอเจนต์ราว 10,000 ตัวทำงานเป็นเวลา 88 ชั่วโมง จนได้ทั้งข้อพิสูจน์เชิงวิเคราะห์และการทำให้ข้อพิสูจน์เป็นทางการด้วย Lean โดยข้อสรุปคือ การเคลื่อนที่ของของไหลตามสมการ Navier–Stokes อาจพัฒนาไปสู่ภาวะเอกฐาน (singularity) ภายในเวลาจำกัดได้ 14

OpenAI อ้างว่าพิสูจน์อะไร

ปัญหา Navier–Stokes เรื่องการมีอยู่และความเรียบ (existence and smoothness) ตั้งคำถามว่า การไหลของของไหลสามมิติที่เริ่มจากสภาวะเรียบจะคงความเรียบตลอดไปหรือไม่ หรืออาจ “พังทลาย” จนเกิดค่าที่ไม่ปกติในเวลาจำกัดได้

OpenAI กล่าวว่า ผลงานของตนสนับสนุนกรณีหลัง นั่นคือภายใต้เงื่อนไขที่ระบุไว้ พลวัตของสมการสามารถเกิดภาวะเอกฐานในเวลาจำกัดได้ บริษัทเผยแพร่คำอธิบายข้อพิสูจน์และ Lean formalization; รายงานข่าวระบุว่าเอกสารมีความยาว 166 หน้า 43

อย่างไรก็ดี การมี Lean formalization ไม่ได้เท่ากับการปิดประเด็นทั้งหมด Lean เป็นระบบพิสูจน์เชิงรูปนัยที่ตรวจว่าแต่ละขั้นตอนของข้อพิสูจน์ ซึ่งถูกเข้ารหัสภายใต้นิยามและสมมติฐานที่กำหนดไว้ เดินตามตรรกะได้ถูกต้องหรือไม่ แต่ผู้เชี่ยวชาญยังต้องตรวจว่า

• ทฤษฎีบทที่เขียนใน Lean ตรงกับโจทย์ Navier–Stokes ที่ตั้งใจจะแก้จริงหรือไม่
• สมมติฐานและนิยามต่าง ๆ เหมาะสมและครบถ้วนหรือไม่
• ข้อพิสูจน์เชิงวิเคราะห์กับฉบับ formalization สอดคล้องกันเพียงใด
• ผลลัพธ์ครอบคลุมโจทย์ของ Clay Mathematics Institute ในขอบเขตใด

ณ ช่วงเวลาที่มีรายงานครั้งแรก Clay Mathematics Institute ซึ่งเป็นองค์กรสหรัฐฯ ที่ดูแล Millennium Prize Problems ยังไม่ได้รับรองผลลัพธ์นี้อย่างอิสระ 1

ประเด็นใหญ่ไม่ได้มีแค่ “พิสูจน์ถูกหรือไม่”

คำประกาศนี้ตามมาด้วยข้อพิพาทเรื่องที่มาของแนวคิดและการให้เครดิต Tristan Buckmaster นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยนิวยอร์ก และ Levent Alpöge นักวิจัยของ Anthropic กำลังทำงานที่เกี่ยวข้องกับพลศาสตร์ของไหลเช่นกัน

Buckmaster กล่าวหาว่า OpenAI ได้ล่วงรู้แนวทางของทั้งคู่แล้วเร่งดำเนินงานของตน รวมถึงตั้งข้อกังวลเรื่องเครดิตผลงาน ขณะที่ OpenAI ปฏิเสธว่า ทั้งนักวิจัยและเอเจนต์ของบริษัทไม่ได้เห็นงานของทั้งคู่ก่อนที่งานนั้นจะเผยแพร่ต่อสาธารณะ

จากข้อมูลที่มี งานทั้งสองฝ่ายเกี่ยวข้องกัน แต่ยังไม่อาจสรุปได้ว่าเป็นผลลัพธ์เดียวกัน หรือว่า OpenAI ใช้งานที่ยังไม่เผยแพร่ของอีกฝ่ายจริง ข้อกล่าวหานี้จึงยังเป็นประเด็นโต้แย้ง ไม่ใช่ข้อเท็จจริงที่พิสูจน์แล้ว

ทำไมการตรวจด้วย Lean จึงยังไม่ยุติข้อถกเถียง

การพิสูจน์เชิงรูปนัยช่วยยกระดับมาตรฐานหลักฐานอย่างมาก เพราะช่วยตรวจหาช่องโหว่เชิงตรรกะที่อาจหลุดรอดจากการอ่านตรวจแบบปกติได้ การที่ OpenAI ปล่อยทั้งเอกสารสำหรับมนุษย์อ่านและโครงการ Lean ทำให้นักคณิตศาสตร์มีวัตถุให้ตรวจสอบ 4

แต่การยอมรับงานวิจัยยังต้องตอบคำถามที่กว้างกว่าความถูกต้องเชิงสัญลักษณ์ ได้แก่

• ขอบเขต: พิสูจน์ Navier–Stokes ฉบับใดและภายใต้เงื่อนไขใด
• การแปลความ: เนื้อหาภาษามนุษย์ สมมติฐาน และทฤษฎีบทใน Lean ตรงกันจริงหรือไม่
• ความใหม่และเครดิต: ใครเสนอแนวคิดใดก่อน และลำดับเวลาเป็นอย่างไร
• ความเข้าใจ: ข้อพิสูจน์มอบแนวคิดที่นักคณิตศาสตร์นำไปต่อยอดได้หรือเป็นเพียงอนุพันธ์ที่ตรวจผ่านระบบ
• การทำซ้ำและตรวจสอบ: คนนอกสามารถอ่าน อธิบาย ตรวจ และสร้างต่อบนผลงานได้จริงเพียงใด

Javier Gómez-Serrano เรียกสถานการณ์นี้ว่าเป็น “วิกฤตเชิงอัตถิภาวนิยม” ของคณิตศาสตร์ สะท้อนความกังวลว่า ผลลัพธ์จาก AI ที่มาเร็วอาจแซงหน้ากลไกปกติของการทำความเข้าใจ ตรวจสอบ สอน และให้เครดิตในวงการ

เสียงคัดค้านต่อการแข่งขัน AI ในคณิตศาสตร์

ความขัดแย้งลุกลามเกินกว่าคดีพิสูจน์หนึ่งชิ้น ผู้ได้รับเหรียญฟิลด์ส 25 คน รวมถึง Terence Tao ลงนามในคำประกาศที่เตือนว่า การแข่งขันกันของบริษัท AI เพื่ออ้างความสำเร็จในโจทย์คณิตศาสตร์ยาก ๆ อาจทำร้ายทั้งวิทยาศาสตร์และการพัฒนานักวิจัยรุ่นใหม่ 17

อีกด้านหนึ่ง จดหมายเปิดผนึกจากนักคณิตศาสตร์ปัจจุบันและอดีตของ Caltech คัดค้านบทบาทของ OpenAI ในกิจกรรมคณิตศาสตร์กับ AI ที่วางแผนจัดขึ้น โดยรายงานระบุว่าจดหมายมีผู้ลงชื่อ 771 คนเมื่อเผยแพร่ และต่อมา OpenAI ถอนการสนับสนุนงาน Caltech Mathathon

ข้อวิจารณ์เหล่านี้ไม่ได้หมายความว่า AI ไม่ควรมีที่ยืนในคณิตศาสตร์ ประเด็นคือระบบปิดและการแข่งขันที่ขับเคลื่อนด้วยการประชาสัมพันธ์อาจให้รางวัลกับพาดหัวข่าว มากกว่าการแลกเปลี่ยนแบบเปิด การให้เครดิตอย่างรอบคอบ และคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่ผู้อื่นเข้าใจได้

ในอีกกรอบหนึ่ง AI อาจเป็นประโยชน์อย่างมากต่อการตรวจพิสูจน์ สำรวจข้อคาดเดา ช่วยอธิบายงานยาก และร่วมสร้างคลังข้อพิสูจน์เชิงรูปนัยที่ทุกคนเข้าถึงได้

OpenAI กำลังมุ่งไปที่ Hodge Conjecture หรือไม่

OpenAI บอกกับ The New York Times ว่าบริษัทมี “ความคืบหน้าอย่างมีนัยสำคัญ” ใน Millennium Prize Problem อีกข้อหนึ่ง แต่ไม่ได้ระบุชื่อโจทย์ และยังไม่ได้เผยแพร่ข้อพิสูจน์ นี่คือขอบเขตของสิ่งที่ยืนยันได้จากข้อมูลสาธารณะที่มี

มีการคาดเดากันมากว่าเป้าหมายอาจเป็น Hodge Conjecture และยังมีชื่อ Birch and Swinnerton-Dyer conjecture ปรากฏในข่าวลือด้วย รายงานหนึ่งอ้างแหล่งข่าวใน OpenAI ว่าพนักงานคาดหวังความคืบหน้าเกี่ยวกับ Hodge Conjecture แต่ OpenAI ยังไม่ได้ประกาศข้อพิสูจน์ของโจทย์นี้ต่อสาธารณะ

ดังนั้น คำกล่าวว่า Hodge Conjecture หรือ Birch and Swinnerton-Dyer conjecture “ถูกแก้แล้ว” ควรถูกมองเป็นข่าวลือ ไม่ใช่ผลทางคณิตศาสตร์

สิ่งที่ควรจับตาต่อจากนี้

พัฒนาการที่มีน้ำหนักที่สุดไม่ใช่คำประกาศครั้งใหม่ แต่คือการตรวจเอกสาร Navier–Stokes ที่ OpenAI เผยแพร่โดยอิสระ ทั้งการอ่านข้อโต้แย้งเชิงคณิตศาสตร์ การตรวจโครงการ Lean และส่วนประกอบที่พึ่งพา ตลอดจนความชัดเจนว่าแก้โจทย์ฉบับของ Clay ได้ตรงส่วนใด

หาก OpenAI อ้างความสำเร็จใน Millennium Prize Problem ข้ออื่น มาตรฐานเดิมก็ควรถูกใช้เช่นกัน: ต้องมีทฤษฎีบทที่ระบุชัด มีเอกสารทั้งแบบทางการและแบบอธิบาย เปิดทางให้ตรวจสอบที่มา และให้รายละเอียดเพียงพอที่นักวิจัยภายนอกจะทดสอบและต่อยอดได้

สำหรับคณิตศาสตร์ที่มี AI ช่วย ความถูกต้องเป็นเงื่อนไขจำเป็น แต่ยังไม่เพียงพอ การให้เครดิต ความเปิดกว้าง และความเข้าใจของมนุษย์ ก็เป็นส่วนหนึ่งของคุณค่าทางวิทยาศาสตร์เช่นกัน.