คำตอบการวิจัย
ประเด็นสำคัญ โมเดลการให้เหตุผลของ OpenAI สร้างโครงสร้างจุดบนระนาบที่มีอย่างน้อย n^(1+δ) คู่ที่อยู่ห่างกัน 1 หน่วยสำหรับค่า n ไม่สิ้นสุด ซึ่งขัดกับสมมติฐานดั้งเดิมของ Erdős [6] วิธีการใหม่ใช้เครื่องมือจากทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต เช่น CM fields และหอสนามจำนวนแบบ Golod–Shafarevich แทนการจัดจุดแบบกริดที่ใช้กันมานาน [6] นักคณิตศาสตร์ชั้นนำได้เผยแพร่เอกสารสรุปการตรวจสอบโดยมนุษย์ เพื่ออธิบายแนวคิดของการพิสูจน์และผลกระทบต่อเรขาคณิตเชิงไม่ต่อเนื่อง [11] How did an OpenAI internal reasoning model reportedly disprove Paul Erdős’s 1946 unit distance conjecture in discrete geometry, what does th The unit distance problem asks how many pairs of points in the plane can be exactly one unit apart among n points. AI พรอมต์ Create a landscape editorial hero image for this Studio Global article: How did an OpenAI internal reasoning model reportedly disprove Paul Erdős’s 1946 unit distance conjecture in discrete geometry, what does th. Article summary: An OpenAI document reports that an internal reasoning model found a construction of planar point sets with more unit-distance pairs than Erdős’s 1946 conjecture allows, namely ν(n) ≥ n^(1+δ) for infinitely many n and som. Topic tags: general, academic, general web, user generated. Reference image context from search candidates: Reference image 1: visual subject "# Erdős Unit Distance Problem. The Erdős unit distance problem asks to determine the maximum number u(n) of occurrences of the same distance among n points in the plane. dense unit" source context "Erdős Unit Distance Problem -- from Wolfram MathWorld" Reference image 2: visual subject "A textual summar
openai.com เป็นเวลานานเกือบ 80 ปี ที่นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกสนใจคำถามเรขาคณิตที่ดูเหมือนง่ายมากข้อหนึ่ง:
ถ้าวางจุดจำนวน n จุดบนระนาบ จะมีคู่ของจุดกี่คู่ที่อยู่ห่างกันพอดี 1 หน่วยได้มากที่สุด?
คำถามนี้เรียกว่า ปัญหา Unit Distance ซึ่งเสนอครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีชื่อดัง Paul Erdős ในปี 1946 และกลายเป็นหนึ่งในปัญหาคลาสสิกของสาขา เรขาคณิตเชิงไม่ต่อเนื่อง (discrete geometry)
ล่าสุดมีรายงานว่าระบบ AI ของ OpenAI ได้สร้างตัวอย่างโต้แย้ง (counterexample) ที่ทำให้สมมติฐานดั้งเดิมของ Erdős ไม่เป็นจริง โดยแสดงว่ามีชุดจุดบนระนาบที่ให้จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยอย่างน้อย n^(1+δ) สำหรับค่าบางค่า δ > 0 และเกิดขึ้นได้สำหรับค่า n จำนวนไม่สิ้นสุด
ปัญหา Unit Distance คืออะไร
สมมติว่ามีชุดจุด P บนระนาบ
ให้ ν(P) เป็นจำนวนคู่จุดใน P ที่ห่างกันเท่ากับ 1
ให้ ν(n) เป็นจำนวนสูงสุดของ ν(P) ที่เป็นไปได้เมื่อมีจุดทั้งหมด n จุด
คำถามหลักคือ: เมื่อจำนวนจุด n เพิ่มขึ้น ค่า ν(n) สามารถเติบโตเร็วแค่ไหน
คนยังถาม คำตอบสั้น ๆ สำหรับ "AI สร้างตัวอย่างโต้แย้งสมมติฐาน Unit Distance ของ Erdős ที่ค้างคามาเกือบ 80 ปี" คืออะไร โมเดลการให้เหตุผลของ OpenAI สร้างโครงสร้างจุดบนระนาบที่มีอย่างน้อย n^(1+δ) คู่ที่อยู่ห่างกัน 1 หน่วยสำหรับค่า n ไม่สิ้นสุด ซึ่งขัดกับสมมติฐานดั้งเดิมของ Erdős [6]
ประเด็นสำคัญที่ต้องตรวจสอบก่อนคืออะไร? โมเดลการให้เหตุผลของ OpenAI สร้างโครงสร้างจุดบนระนาบที่มีอย่างน้อย n^(1+δ) คู่ที่อยู่ห่างกัน 1 หน่วยสำหรับค่า n ไม่สิ้นสุด ซึ่งขัดกับสมมติฐานดั้งเดิมของ Erdős [6] วิธีการใหม่ใช้เครื่องมือจากทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต เช่น CM fields และหอสนามจำนวนแบบ Golod–Shafarevich แทนการจัดจุดแบบกริดที่ใช้กันมานาน [6]
ฉันควรทำอย่างไรต่อไปในทางปฏิบัติ? นักคณิตศาสตร์ชั้นนำได้เผยแพร่เอกสารสรุปการตรวจสอบโดยมนุษย์ เพื่ออธิบายแนวคิดของการพิสูจน์และผลกระทบต่อเรขาคณิตเชิงไม่ต่อเนื่อง [11]
คำตอบการวิจัย
ประเด็นสำคัญ โมเดลการให้เหตุผลของ OpenAI สร้างโครงสร้างจุดบนระนาบที่มีอย่างน้อย n^(1+δ) คู่ที่อยู่ห่างกัน 1 หน่วยสำหรับค่า n ไม่สิ้นสุด ซึ่งขัดกับสมมติฐานดั้งเดิมของ Erdős [6] วิธีการใหม่ใช้เครื่องมือจากทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต เช่น CM fields และหอสนามจำนวนแบบ Golod–Shafarevich แทนการจัดจุดแบบกริดที่ใช้กันมานาน [6] นักคณิตศาสตร์ชั้นนำได้เผยแพร่เอกสารสรุปการตรวจสอบโดยมนุษย์ เพื่ออธิบายแนวคิดของการพิสูจน์และผลกระทบต่อเรขาคณิตเชิงไม่ต่อเนื่อง [11] How did an OpenAI internal reasoning model reportedly disprove Paul Erdős’s 1946 unit distance conjecture in discrete geometry, what does th The unit distance problem asks how many pairs of points in the plane can be exactly one unit apart among n points. AI พรอมต์ Create a landscape editorial hero image for this Studio Global article: How did an OpenAI internal reasoning model reportedly disprove Paul Erdős’s 1946 unit distance conjecture in discrete geometry, what does th. Article summary: An OpenAI document reports that an internal reasoning model found a construction of planar point sets with more unit-distance pairs than Erdős’s 1946 conjecture allows, namely ν(n) ≥ n^(1+δ) for infinitely many n and som. Topic tags: general, academic, general web, user generated. Reference image context from search candidates: Reference image 1: visual subject "# Erdős Unit Distance Problem. The Erdős unit distance problem asks to determine the maximum number u(n) of occurrences of the same distance among n points in the plane. dense unit" source context "Erdős Unit Distance Problem -- from Wolfram MathWorld" Reference image 2: visual subject "A textual summar
openai.com เป็นเวลานานเกือบ 80 ปี ที่นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกสนใจคำถามเรขาคณิตที่ดูเหมือนง่ายมากข้อหนึ่ง:
ถ้าวางจุดจำนวน n จุดบนระนาบ จะมีคู่ของจุดกี่คู่ที่อยู่ห่างกันพอดี 1 หน่วยได้มากที่สุด?
คำถามนี้เรียกว่า ปัญหา Unit Distance ซึ่งเสนอครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีชื่อดัง Paul Erdős ในปี 1946 และกลายเป็นหนึ่งในปัญหาคลาสสิกของสาขา เรขาคณิตเชิงไม่ต่อเนื่อง (discrete geometry)
ล่าสุดมีรายงานว่าระบบ AI ของ OpenAI ได้สร้างตัวอย่างโต้แย้ง (counterexample) ที่ทำให้สมมติฐานดั้งเดิมของ Erdős ไม่เป็นจริง โดยแสดงว่ามีชุดจุดบนระนาบที่ให้จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยอย่างน้อย n^(1+δ) สำหรับค่าบางค่า δ > 0 และเกิดขึ้นได้สำหรับค่า n จำนวนไม่สิ้นสุด
ปัญหา Unit Distance คืออะไร
สมมติว่ามีชุดจุด P บนระนาบ
ให้ ν(P) เป็นจำนวนคู่จุดใน P ที่ห่างกันเท่ากับ 1
ให้ ν(n) เป็นจำนวนสูงสุดของ ν(P) ที่เป็นไปได้เมื่อมีจุดทั้งหมด n จุด
คำถามหลักคือ: เมื่อจำนวนจุด n เพิ่มขึ้น ค่า ν(n) สามารถเติบโตเร็วแค่ไหน
คนยังถาม คำตอบสั้น ๆ สำหรับ "AI สร้างตัวอย่างโต้แย้งสมมติฐาน Unit Distance ของ Erdős ที่ค้างคามาเกือบ 80 ปี" คืออะไร โมเดลการให้เหตุผลของ OpenAI สร้างโครงสร้างจุดบนระนาบที่มีอย่างน้อย n^(1+δ) คู่ที่อยู่ห่างกัน 1 หน่วยสำหรับค่า n ไม่สิ้นสุด ซึ่งขัดกับสมมติฐานดั้งเดิมของ Erdős [6]
ประเด็นสำคัญที่ต้องตรวจสอบก่อนคืออะไร? โมเดลการให้เหตุผลของ OpenAI สร้างโครงสร้างจุดบนระนาบที่มีอย่างน้อย n^(1+δ) คู่ที่อยู่ห่างกัน 1 หน่วยสำหรับค่า n ไม่สิ้นสุด ซึ่งขัดกับสมมติฐานดั้งเดิมของ Erdős [6] วิธีการใหม่ใช้เครื่องมือจากทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต เช่น CM fields และหอสนามจำนวนแบบ Golod–Shafarevich แทนการจัดจุดแบบกริดที่ใช้กันมานาน [6]
ฉันควรทำอย่างไรต่อไปในทางปฏิบัติ? นักคณิตศาสตร์ชั้นนำได้เผยแพร่เอกสารสรุปการตรวจสอบโดยมนุษย์ เพื่ออธิบายแนวคิดของการพิสูจน์และผลกระทบต่อเรขาคณิตเชิงไม่ต่อเนื่อง [11]
สมมติฐานดั้งเดิมของ Erdős Erdős เคยสร้างตัวอย่างชุดจุดที่เรียงกันคล้าย กริดสี่เหลี่ยม √n × √n ซึ่งให้จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยประมาณ
เขาคาดว่าโครงสร้างแบบนี้น่าจะใกล้เคียงค่าที่ดีที่สุดแล้ว กล่าวคือ จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยควรโตเกือบเชิงเส้นกับ n และไม่ควรมีการเพิ่มกำลังแบบคงที่ เช่น n^(1+δ) สำหรับ δ > 0
ในอีกด้านหนึ่ง มีผลลัพธ์สำคัญในปี 1984 โดย Spencer, Szemerédi และ Trotter ที่พิสูจน์ขอบเขตบนว่า
ν(n) = O(n^(4/3))
ดังนั้นปัญหานี้จึงมีช่องว่างใหญ่ระหว่างขอบเขตบนและขอบเขตล่าง และเป็นโจทย์เปิดที่นักคณิตศาสตร์พยายามแก้มานานหลายทศวรรษ
ตัวอย่างโต้แย้งที่สร้างโดย AI งานของ OpenAI รายงานการก่อสร้างชุดจุดบนระนาบที่ทำให้
สำหรับค่า δ ที่เป็นค่าคงที่บวก และเกิดขึ้นกับค่า n ไม่สิ้นสุด
สิ่งนี้มีความหมายสำคัญมาก เพราะสมมติฐานของ Erdős อนุญาตให้จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยเพิ่มได้เพียงแบบ
แต่ผลใหม่ให้ กำลังเพิ่มแบบคงที่ (fixed exponent improvement) ทำให้จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยมากกว่าที่เคยเชื่อกันอย่างมีนัยสำคัญ
พูดง่าย ๆ คือ มีการจัดวางจุดบางแบบที่สร้าง จำนวนคู่ระยะ 1 หน่วยมากกว่าที่ทฤษฎีเดิมคาดไว้แบบพหุนาม
แนวคิดหลัก: ใช้ทฤษฎีจำนวนแทนกริดเรขาคณิต วิธีการดั้งเดิมส่วนใหญ่ใช้รูปแบบเรขาคณิต เช่น กริดบนระนาบ แต่การก่อสร้างใหม่ใช้เครื่องมือจาก ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต (algebraic number theory) แทน
องค์ประกอบสำคัญของแนวคิดนี้ ได้แก่
Totally real number fields ที่จัดอยู่ในหอสนามจำนวนแบบ infinite class field towersโครงสร้างแบบ Golod–Shafarevich ซึ่งรับประกันว่ามีหอสนามจำนวนที่ไม่สิ้นสุดพร้อมคุณสมบัติทางพีชคณิตเฉพาะ
CM fields ที่ได้จากการเพิ่มหน่วยจินตภาพ i เข้าไป โครงสร้างเหล่านี้สร้าง แลตทิซมิติสูงที่มีสมาชิกจำนวนมากที่มีนอร์มเท่ากับ 1 และเมื่อแมปกลับมายังระนาบยุคลิด ความสัมพันธ์ของนอร์มเหล่านี้จะกลายเป็น เส้นเชื่อมระยะหนึ่งหน่วยจำนวนมากระหว่างจุด
ข้อได้เปรียบสำคัญคือ วิธีจากทฤษฎีจำนวนสามารถสร้างความสัมพันธ์ระยะทางจำนวนมากกว่าการจัดเรียงแบบกริดทั่วไป
ทำไมผลลัพธ์นี้จึงล้มสมมติฐานเดิม ความแตกต่างของอัตราการเติบโตดูเล็ก แต่มีผลอย่างเด็ดขาด
สมมติฐานของ Erdős อนุญาตเพียง
โดย δ เป็นค่าบวกคงที่ ทำให้เมื่อ n ใหญ่มาก ความแตกต่างจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ จนกลายเป็นช่องว่างขนาดใหญ่ นั่นหมายความว่าสมมติฐานเดิมไม่สามารถเป็นจริงได้
การตรวจสอบโดยนักคณิตศาสตร์ หลังจากมีการเผยแพร่ผลลัพธ์ นักคณิตศาสตร์ได้จัดทำเอกสารสรุปเวอร์ชันที่มนุษย์ตรวจสอบแล้ว เพื่ออธิบายโครงสร้างของการพิสูจน์และแนวคิดหลัก
ผู้ร่วมเขียนเอกสารนี้มีนักคณิตศาสตร์หลายคน เช่น
Noga Alon
Timothy Gowers
Thomas Bloom
Will Sawin
Melanie Matchett Wood
เอกสารดังกล่าวเชื่อมโยงการก่อสร้างของ AI กับแนวคิดจากงานวิจัยในทฤษฎีจำนวนหลายสาย รวมถึงแนวคิดเกี่ยวกับ Golod–Shafarevich towers และเทคนิคพีชคณิตที่เกี่ยวข้อง
ทำไมเหตุการณ์นี้จึงถูกมองว่าเป็นหมุดหมายของ AI ความสนใจจำนวนมากไม่ได้มาจากตัวปัญหาเพียงอย่างเดียว แต่เพราะมีรายงานว่านี่อาจเป็น ครั้งแรกที่ระบบ AI สร้างหลักฐานใหม่สำหรับปัญหาคณิตศาสตร์เปิดที่สำคัญจริง ๆ ไม่ใช่แค่ค้นพบคำตอบที่มีอยู่แล้วในวรรณกรรมวิชาการ
ในอดีต การทดลองบางครั้งพบว่า AI แก้ปัญหาได้ แต่ภายหลังพบว่าคำตอบนั้นมีอยู่ในงานวิจัยก่อนหน้าแล้ว
แต่ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ถูกนำเสนอว่าเป็น ตัวอย่างโต้แย้งใหม่ต่อสมมติฐานที่เปิดมาตั้งแต่ปี 1946
ขั้นตอนต่อไป แม้จะมีการตรวจสอบเบื้องต้นแล้ว ผลลัพธ์ขนาดใหญ่อย่างนี้มักต้องผ่านการตรวจสอบอย่างละเอียดจากชุมชนคณิตศาสตร์ทั่วโลก
วิเคราะห์รายละเอียดของการพิสูจน์
ทำให้แนวคิดเข้าใจง่ายขึ้น
ศึกษาผลกระทบต่อปัญหาอื่นในเรขาคณิตและคอมบิเนทอริกส์
ไม่ว่าผลสุดท้ายจะเป็นอย่างไร งานนี้สะท้อนแนวโน้มใหม่ของการค้นพบทางคณิตศาสตร์: การทำงานร่วมกันระหว่างระบบเหตุผลอัตโนมัติของ AI และการตรวจสอบโดยนักคณิตศาสตร์มนุษย์
cdn.openai.com
REMARKS ON THE DISPROOF OF THE UNIT DISTANCE CONJECTURE
สมมติฐานดั้งเดิมของ Erdős Erdős เคยสร้างตัวอย่างชุดจุดที่เรียงกันคล้าย กริดสี่เหลี่ยม √n × √n ซึ่งให้จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยประมาณ
เขาคาดว่าโครงสร้างแบบนี้น่าจะใกล้เคียงค่าที่ดีที่สุดแล้ว กล่าวคือ จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยควรโตเกือบเชิงเส้นกับ n และไม่ควรมีการเพิ่มกำลังแบบคงที่ เช่น n^(1+δ) สำหรับ δ > 0
ในอีกด้านหนึ่ง มีผลลัพธ์สำคัญในปี 1984 โดย Spencer, Szemerédi และ Trotter ที่พิสูจน์ขอบเขตบนว่า
ν(n) = O(n^(4/3))
ดังนั้นปัญหานี้จึงมีช่องว่างใหญ่ระหว่างขอบเขตบนและขอบเขตล่าง และเป็นโจทย์เปิดที่นักคณิตศาสตร์พยายามแก้มานานหลายทศวรรษ
ตัวอย่างโต้แย้งที่สร้างโดย AI งานของ OpenAI รายงานการก่อสร้างชุดจุดบนระนาบที่ทำให้
สำหรับค่า δ ที่เป็นค่าคงที่บวก และเกิดขึ้นกับค่า n ไม่สิ้นสุด
สิ่งนี้มีความหมายสำคัญมาก เพราะสมมติฐานของ Erdős อนุญาตให้จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยเพิ่มได้เพียงแบบ
แต่ผลใหม่ให้ กำลังเพิ่มแบบคงที่ (fixed exponent improvement) ทำให้จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยมากกว่าที่เคยเชื่อกันอย่างมีนัยสำคัญ
พูดง่าย ๆ คือ มีการจัดวางจุดบางแบบที่สร้าง จำนวนคู่ระยะ 1 หน่วยมากกว่าที่ทฤษฎีเดิมคาดไว้แบบพหุนาม
แนวคิดหลัก: ใช้ทฤษฎีจำนวนแทนกริดเรขาคณิต วิธีการดั้งเดิมส่วนใหญ่ใช้รูปแบบเรขาคณิต เช่น กริดบนระนาบ แต่การก่อสร้างใหม่ใช้เครื่องมือจาก ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต (algebraic number theory) แทน
องค์ประกอบสำคัญของแนวคิดนี้ ได้แก่
Totally real number fields ที่จัดอยู่ในหอสนามจำนวนแบบ infinite class field towersโครงสร้างแบบ Golod–Shafarevich ซึ่งรับประกันว่ามีหอสนามจำนวนที่ไม่สิ้นสุดพร้อมคุณสมบัติทางพีชคณิตเฉพาะ
CM fields ที่ได้จากการเพิ่มหน่วยจินตภาพ i เข้าไป โครงสร้างเหล่านี้สร้าง แลตทิซมิติสูงที่มีสมาชิกจำนวนมากที่มีนอร์มเท่ากับ 1 และเมื่อแมปกลับมายังระนาบยุคลิด ความสัมพันธ์ของนอร์มเหล่านี้จะกลายเป็น เส้นเชื่อมระยะหนึ่งหน่วยจำนวนมากระหว่างจุด
ข้อได้เปรียบสำคัญคือ วิธีจากทฤษฎีจำนวนสามารถสร้างความสัมพันธ์ระยะทางจำนวนมากกว่าการจัดเรียงแบบกริดทั่วไป
ทำไมผลลัพธ์นี้จึงล้มสมมติฐานเดิม ความแตกต่างของอัตราการเติบโตดูเล็ก แต่มีผลอย่างเด็ดขาด
สมมติฐานของ Erdős อนุญาตเพียง
โดย δ เป็นค่าบวกคงที่ ทำให้เมื่อ n ใหญ่มาก ความแตกต่างจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ จนกลายเป็นช่องว่างขนาดใหญ่ นั่นหมายความว่าสมมติฐานเดิมไม่สามารถเป็นจริงได้
การตรวจสอบโดยนักคณิตศาสตร์ หลังจากมีการเผยแพร่ผลลัพธ์ นักคณิตศาสตร์ได้จัดทำเอกสารสรุปเวอร์ชันที่มนุษย์ตรวจสอบแล้ว เพื่ออธิบายโครงสร้างของการพิสูจน์และแนวคิดหลัก
ผู้ร่วมเขียนเอกสารนี้มีนักคณิตศาสตร์หลายคน เช่น
Noga Alon
Timothy Gowers
Thomas Bloom
Will Sawin
Melanie Matchett Wood
เอกสารดังกล่าวเชื่อมโยงการก่อสร้างของ AI กับแนวคิดจากงานวิจัยในทฤษฎีจำนวนหลายสาย รวมถึงแนวคิดเกี่ยวกับ Golod–Shafarevich towers และเทคนิคพีชคณิตที่เกี่ยวข้อง
ทำไมเหตุการณ์นี้จึงถูกมองว่าเป็นหมุดหมายของ AI ความสนใจจำนวนมากไม่ได้มาจากตัวปัญหาเพียงอย่างเดียว แต่เพราะมีรายงานว่านี่อาจเป็น ครั้งแรกที่ระบบ AI สร้างหลักฐานใหม่สำหรับปัญหาคณิตศาสตร์เปิดที่สำคัญจริง ๆ ไม่ใช่แค่ค้นพบคำตอบที่มีอยู่แล้วในวรรณกรรมวิชาการ
ในอดีต การทดลองบางครั้งพบว่า AI แก้ปัญหาได้ แต่ภายหลังพบว่าคำตอบนั้นมีอยู่ในงานวิจัยก่อนหน้าแล้ว
แต่ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ถูกนำเสนอว่าเป็น ตัวอย่างโต้แย้งใหม่ต่อสมมติฐานที่เปิดมาตั้งแต่ปี 1946
ขั้นตอนต่อไป แม้จะมีการตรวจสอบเบื้องต้นแล้ว ผลลัพธ์ขนาดใหญ่อย่างนี้มักต้องผ่านการตรวจสอบอย่างละเอียดจากชุมชนคณิตศาสตร์ทั่วโลก
วิเคราะห์รายละเอียดของการพิสูจน์
ทำให้แนวคิดเข้าใจง่ายขึ้น
ศึกษาผลกระทบต่อปัญหาอื่นในเรขาคณิตและคอมบิเนทอริกส์
ไม่ว่าผลสุดท้ายจะเป็นอย่างไร งานนี้สะท้อนแนวโน้มใหม่ของการค้นพบทางคณิตศาสตร์: การทำงานร่วมกันระหว่างระบบเหตุผลอัตโนมัติของ AI และการตรวจสอบโดยนักคณิตศาสตร์มนุษย์
cdn.openai.com
REMARKS ON THE DISPROOF OF THE UNIT DISTANCE CONJECTURE
