AI สร้างตัวอย่างโต้แย้งสมมติฐาน Unit Distance ของ Erdős ที่ค้างคามาเกือบ 80 ปี

สมมติฐานดั้งเดิมของ Erdős

Erdős เคยสร้างตัวอย่างชุดจุดที่เรียงกันคล้าย กริดสี่เหลี่ยม √n × √n ซึ่งให้จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยประมาณ

n^(1 + Ω(1 / log log n))

เขาคาดว่าโครงสร้างแบบนี้น่าจะใกล้เคียงค่าที่ดีที่สุดแล้ว กล่าวคือ จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยควรโตเกือบเชิงเส้นกับ n และไม่ควรมีการเพิ่มกำลังแบบคงที่ เช่น n^(1+δ) สำหรับ δ > 0

ในอีกด้านหนึ่ง มีผลลัพธ์สำคัญในปี 1984 โดย Spencer, Szemerédi และ Trotter ที่พิสูจน์ขอบเขตบนว่า

ν(n) = O(n^(4/3))

ดังนั้นปัญหานี้จึงมีช่องว่างใหญ่ระหว่างขอบเขตบนและขอบเขตล่าง และเป็นโจทย์เปิดที่นักคณิตศาสตร์พยายามแก้มานานหลายทศวรรษ

ตัวอย่างโต้แย้งที่สร้างโดย AI

งานของ OpenAI รายงานการก่อสร้างชุดจุดบนระนาบที่ทำให้

ν(n) ≥ n^(1+δ)

สำหรับค่า δ ที่เป็นค่าคงที่บวก และเกิดขึ้นกับค่า n ไม่สิ้นสุด

สิ่งนี้มีความหมายสำคัญมาก เพราะสมมติฐานของ Erdős อนุญาตให้จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยเพิ่มได้เพียงแบบ

n^(1 + o(1))

แต่ผลใหม่ให้ กำลังเพิ่มแบบคงที่ (fixed exponent improvement) ทำให้จำนวนคู่ระยะหนึ่งหน่วยมากกว่าที่เคยเชื่อกันอย่างมีนัยสำคัญ

พูดง่าย ๆ คือ มีการจัดวางจุดบางแบบที่สร้าง จำนวนคู่ระยะ 1 หน่วยมากกว่าที่ทฤษฎีเดิมคาดไว้แบบพหุนาม

แนวคิดหลัก: ใช้ทฤษฎีจำนวนแทนกริดเรขาคณิต

วิธีการดั้งเดิมส่วนใหญ่ใช้รูปแบบเรขาคณิต เช่น กริดบนระนาบ แต่การก่อสร้างใหม่ใช้เครื่องมือจาก ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต (algebraic number theory) แทน

องค์ประกอบสำคัญของแนวคิดนี้ ได้แก่

• Totally real number fields ที่จัดอยู่ในหอสนามจำนวนแบบ infinite class field towers
• โครงสร้างแบบ Golod–Shafarevich ซึ่งรับประกันว่ามีหอสนามจำนวนที่ไม่สิ้นสุดพร้อมคุณสมบัติทางพีชคณิตเฉพาะ
• CM fields ที่ได้จากการเพิ่มหน่วยจินตภาพ i เข้าไป

โครงสร้างเหล่านี้สร้าง แลตทิซมิติสูงที่มีสมาชิกจำนวนมากที่มีนอร์มเท่ากับ 1 และเมื่อแมปกลับมายังระนาบยุคลิด ความสัมพันธ์ของนอร์มเหล่านี้จะกลายเป็น เส้นเชื่อมระยะหนึ่งหน่วยจำนวนมากระหว่างจุด

ข้อได้เปรียบสำคัญคือ วิธีจากทฤษฎีจำนวนสามารถสร้างความสัมพันธ์ระยะทางจำนวนมากกว่าการจัดเรียงแบบกริดทั่วไป

ทำไมผลลัพธ์นี้จึงล้มสมมติฐานเดิม

ความแตกต่างของอัตราการเติบโตดูเล็ก แต่มีผลอย่างเด็ดขาด

สมมติฐานของ Erdős อนุญาตเพียง

n^(1 + o(1))

แต่การก่อสร้างใหม่ให้

n^(1 + δ)

โดย δ เป็นค่าบวกคงที่ ทำให้เมื่อ n ใหญ่มาก ความแตกต่างจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ จนกลายเป็นช่องว่างขนาดใหญ่ นั่นหมายความว่าสมมติฐานเดิมไม่สามารถเป็นจริงได้

การตรวจสอบโดยนักคณิตศาสตร์

หลังจากมีการเผยแพร่ผลลัพธ์ นักคณิตศาสตร์ได้จัดทำเอกสารสรุปเวอร์ชันที่มนุษย์ตรวจสอบแล้ว เพื่ออธิบายโครงสร้างของการพิสูจน์และแนวคิดหลัก

ผู้ร่วมเขียนเอกสารนี้มีนักคณิตศาสตร์หลายคน เช่น

• Noga Alon
• Timothy Gowers
• Thomas Bloom
• Will Sawin
• Melanie Matchett Wood

เอกสารดังกล่าวเชื่อมโยงการก่อสร้างของ AI กับแนวคิดจากงานวิจัยในทฤษฎีจำนวนหลายสาย รวมถึงแนวคิดเกี่ยวกับ Golod–Shafarevich towers และเทคนิคพีชคณิตที่เกี่ยวข้อง

ทำไมเหตุการณ์นี้จึงถูกมองว่าเป็นหมุดหมายของ AI

ความสนใจจำนวนมากไม่ได้มาจากตัวปัญหาเพียงอย่างเดียว แต่เพราะมีรายงานว่านี่อาจเป็น ครั้งแรกที่ระบบ AI สร้างหลักฐานใหม่สำหรับปัญหาคณิตศาสตร์เปิดที่สำคัญจริง ๆ ไม่ใช่แค่ค้นพบคำตอบที่มีอยู่แล้วในวรรณกรรมวิชาการ

ในอดีต การทดลองบางครั้งพบว่า AI แก้ปัญหาได้ แต่ภายหลังพบว่าคำตอบนั้นมีอยู่ในงานวิจัยก่อนหน้าแล้ว

แต่ในกรณีนี้ ผลลัพธ์ถูกนำเสนอว่าเป็น ตัวอย่างโต้แย้งใหม่ต่อสมมติฐานที่เปิดมาตั้งแต่ปี 1946

ขั้นตอนต่อไป

แม้จะมีการตรวจสอบเบื้องต้นแล้ว ผลลัพธ์ขนาดใหญ่อย่างนี้มักต้องผ่านการตรวจสอบอย่างละเอียดจากชุมชนคณิตศาสตร์ทั่วโลก

นักวิจัยจะพยายาม

• วิเคราะห์รายละเอียดของการพิสูจน์
• ทำให้แนวคิดเข้าใจง่ายขึ้น
• ศึกษาผลกระทบต่อปัญหาอื่นในเรขาคณิตและคอมบิเนทอริกส์

ไม่ว่าผลสุดท้ายจะเป็นอย่างไร งานนี้สะท้อนแนวโน้มใหม่ของการค้นพบทางคณิตศาสตร์: การทำงานร่วมกันระหว่างระบบเหตุผลอัตโนมัติของ AI และการตรวจสอบโดยนักคณิตศาสตร์มนุษย์