Så knäckte matematikern Levent Alpöge den 87-åriga Jacobian-förmodan med Anthropics Claude Fable 5

Jacobian-förmodan – ett klassiskt problem i algebraisk geometri

Jacobian-förmodan är ett av de mest välkända olösta problemen inom algebraisk geometri. Den formulerades för två variabler av Ludwig Kraus 1884 och generaliserades till N variabler av Ott-Heinrich Keller 1939 . Förmodan säger att om en polynomfunktion F: ℂⁿ → ℂⁿ har en Jacobian-determinant (determinanten av matrisen med partiella derivator) som är en konstant nollskild överallt, då måste F ha en polynomiell invers – det vill säga vara bijektiv . Sådana funktioner kallas Keller-avbildningar.

Förmodan var nummer 16 på Stephen Smales lista över 1900-talets viktigaste olösta matematiska problem och var ökänd för att ha lockat till sig många felaktiga bevis .

Så använde Levent Alpöge Claude Fable 5

Natten mellan den 19 och 20 juli 2026, medan han tittade på VM-finalen i fotboll, fick matematikern Levent Alpöge – en talteoretiker som arbetar på Anthropic efter en tid som Junior Fellow vid Harvard's Society of Fellows – frågan om Jacobian-förmodan av en vän vid namn Akhil Mathew . Alpöge bad Anthropics Claude Fable 5 att arbeta med problemet. Modellen återkom med en konkret 216 tecken lång polynomavbildning som uppfyllde villkoret med en konstant nollskild Jacobian-determinant men som inte var injektiv – och därmed motsäger förmodans slutsats .

Alpöge publicerade resultatet på X den 19 juli 2026 med orden: ”hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final” .

Det specifika motexemplet

Motexemplet är en polynomavbildning F: ℂ³ → ℂ³ som definieras explicit som :

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

Två viktiga egenskaper gäller :

• Jacobian-determinanten: det Jac F = −2 (en konstant nollskild), så F är en Keller-avbildning.
• Icke-injektivitet: Tre olika startpunkter avbildas alla till samma utfall (-1/4, 0, 0):
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

Eftersom en icke-injektiv funktion inte kan ha en polynomiell (eller någon) invers, motsäger F Jacobian-förmodan. Konstruktionen fungerar över alla kroppar med karakteristik noll eftersom alla koefficienter och kontrollpunkter är rationella .

En åtföljande förpublikation (daterad 20 juli 2026) innehåller en fullständig algebraisk verifiering, bestämmer den globala geometrin för F, och visar att mängden där F inte är proper är en hyperyta – mekanismen som gör att avbildningen inte är en polynomiell automorfism . Artikeln konstruerar också oändliga familjer av sådana motexempel .

Status för tvåvariabelfallet

Jacobian-förmodan för n = 2 (två komplexa variabler) förblir ett olöst problem från och med juli 2026. Motexemplet vederlägger bara förmodan för dimensioner n ≥ 3 .

Aktuell status för verifiering och peer review

Från och med den 22 juli 2026 är följande känt:

• Matematiskt trovärdigt: Motexemplet är explicit och mekaniskt kontrollerbart. Matematiker tar det på allvar . En formell verifiering i Lean 4 har tagits fram och passerar byggtest .
• Ingen peer review ännu: Det finns ingen publicerad vetenskaplig artikel eller arXiv-förpublikation enligt de senaste rapporterna . Materialet finns som ett inlägg på sociala medier och en PDF på ulam.ai, men har inte genomgått formell tidskriftsgranskning.
• Wikipedia har uppdaterats: Wikipedia-artikeln om Jacobian-förmodan listar nu motexemplet som en vederläggning för N > 2 .
• Matematikersamfundets bedömning: Konsensus bland kommentatorer är att matematiken med största sannolikhet är korrekt, men formellt accepterande och citering i den officiella litteraturen väntar fortfarande . Resultatet tillskrivs ett mänskligt–AI-samarbete, inte att Claude agerade på egen hand .

Slutsats: Jacobian-förmodan verkar vara äkta falsk i dimensioner ≥ 3. Tvåvariabelfallet är fortfarande olöst. Motexemplet är matematiskt sunt och har verifierats oberoende, men har ännu inte genomgått formell peer review.