Математик Левант Альпёге использовал ИИ Claude Fable 5, чтобы опровергнуть гипотезу Якоби — и это случилось во время финала Клубного чемпионата мира

Гипотеза Якоби

Гипотеза Якоби — фундаментальная задача алгебраической геометрии. Впервые для двух переменных её сформулировал Людвиг Краус в 1884 году, а полностью обобщил на N переменных Отто-Генрих Келлер в 1939 году . Гипотеза утверждает: если полиномиальная функция F: ℂⁿ → ℂⁿ имеет якобиан (определитель матрицы частных производных), который всюду является ненулевой константой, то F обязательно является полиномиальным автоморфизмом — то есть имеет полиномиальный обратный и, следовательно, биективна . Такие отображения называют отображениями Келлера. Гипотеза стояла под номером 16 в списке «Математических проблем следующего столетия» Стивена Смейла (1998) и была известна множеством ошибочных «доказательств» .

Как Левант Альпёге использовал Claude Fable 5

Ночью 19–20 июля 2026 года, во время финала Клубного чемпионата мира по футболу, математик Левант Альпёге — специалист по теории чисел, работающий в Anthropic после стажировки в Гарвардском обществе стипендиатов (Society of Fellows), — обсуждал гипотезу Якоби с другом Ахилом Мэтью . Альпёге задал вопрос модели Anthropic Claude Fable 5. Модель вернула конкретное полиномиальное отображение из 216 символов, которое удовлетворяло условию постоянного ненулевого якобиана, но не было инъективным, тем самым нарушая вывод гипотезы .

Альпёге опубликовал результат на платформе X 19 июля 2026 года, написав: «привет, гипотеза Якоби неверна, спасибо моему близкому другу Ахилу за вопрос и другому близкому другу Фейблу за работу во время финала Кубка мира» .

Конкретный контрпример

Контрпример представляет собой полиномиальное отображение F: ℂ³ → ℂ³, заданное явно :

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

Два ключевых свойства :

• Определитель Якоби: det Jac F = −2 (ненулевая константа), то есть F — отображение Келлера.
• Неинъективность: три различных входных значения переходят в один и тот же выход (-1/4, 0, 0):
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

Поскольку неинъективное отображение не может иметь полиномиального обратного (да и любого обратного вообще), F противоречит гипотезе Якоби. Конструкция работает в любом поле характеристики ноль, так как все коэффициенты и точки проверки рациональны .

Сопровождающий препринт (от 20 июля 2026 г.) приводит полную алгебраическую проверку, определяет глобальную геометрию F и доказывает, что множество несобственности F является гиперповерхностью — именно этот механизм не позволяет отображению быть полиномиальным автоморфизмом . Статья также строит бесконечные семейства таких контрпримеров .

Статус случая двух переменных

Гипотеза Якоби для n = 2 (двух комплексных переменных) остаётся открытой проблемой по состоянию на июль 2026 года. Контрпример опровергает гипотезу только для размерностей n ≥ 3 .

Текущий статус проверки и рецензирования

По состоянию на 22 июля 2026 года известно следующее:

• Математическая достоверность: Контрпример явный и может быть проверен механически. Математики относятся к нему серьёзно . Формальная верификация в системе Lean 4 выполнена и проходит сборки непрерывной интеграции .
• Рецензирование: Рецензированная публикация в журнале или препринт на arXiv пока отсутствуют . Материал существует в виде поста в соцсети и PDF-файла на ulam.ai, но не прошёл формальной журнальной экспертизы.
• Википедия обновлена: Статья в Википедии о гипотезе Якоби теперь указывает контрпример как опровержение для N > 2 .
• Оценка сообщества: Консенсус комментаторов — математика почти наверняка корректна, однако формальное признание и цитирование в официальных записях ещё не завершены . Результат считается достижением человеко-машинного сотрудничества, а не только работы Claude .

Итог: Гипотеза Якоби, по всей видимости, действительно ложна для размерностей ≥ 3. Двумерный случай остаётся открытым. Контрпример математически обоснован и независимо проверен, но ещё не прошёл формальное рецензирование.