Jacobiansk formodning motbevist: Slik brukte matematikeren Levent Alpöge Anthropics Claude Fable 5 til å finne et moteksempel

Jacobiansk formodning

Jacobiansk formodning er et sentralt problem i algebraisk geometri, først formulert for to variabler av Ludwig Kraus i 1884 og fullt generalisert til N variabler av Ott-Heinrich Keller i 1939 . Den hevder at hvis en polynomfunksjon F: ℂⁿ → ℂⁿ har en Jacobi-determinant (determinanten til matrisen av partielle deriverte) som er en konstant ulik null overalt, så må F være en polynom-automorfisme – det vil si at den har en polynom invers og er dermed bijektiv . Slike avbildninger kalles Keller-avbildninger. Formodningen var nummer 16 på Stephen Smales liste fra 1998 over Matematiske Problemer for det 21. Århundre, og var beryktet for å tiltrekke seg mange feilaktige bevis .

Hvordan Levent Alpöge brukte Claude Fable 5

Natten mellom 19. og 20. juli 2026, mens han så på FIFA Club World Cup-finalen, ble matematikeren Levent Alpöge – en tallteoretiker som jobber ved Anthropic etter å ha hatt et Junior Fellowship ved Harvards Society of Fellows – spurt om Jacobiansk formodning av en venn ved navn Akhil Mathew . Alpöge ba Anthropics Claude Fable 5-modell om å jobbe med problemet. Modellen returnerte en konkret 216-tegns polynomfunksjon som tilfredsstilte betingelsen om en konstant Jacobi-determinant ulik null, men som ikke var injektiv, og dermed brøt med formodningens konklusjon .

Alpöge la ut resultatet på X den 19. juli 2026 med teksten: "hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final" .

Det konkrete moteksemplelet

Moteksemplelet er en polynomfunksjon F: ℂ³ → ℂ³ definert eksplisitt som :

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

To sentrale egenskaper gjelder :

• Jacobi-determinanten: det Jac F = −2 (en konstant ulik null), så F er en Keller-avbildning.
• Ikke-injektivitet: Tre distinkte punkter avbildes alle til samme punkt (-1/4, 0, 0):
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

Fordi en ikke-injektiv funksjon ikke kan ha en polynom (eller noen) invers, motsier F den Jacobianske formodningen. Konstruksjonen fungerer over alle kropper av karakteristikk null siden alle koeffisienter og punkter er rasjonale .

En tilhørende preprint (datert 20. juli 2026) gir en full algebraisk verifikasjon, bestemmer den globale geometrien til F, og beviser at mengden av punkter hvor F ikke er proper, er en hyperflate – mekanismen som gjør at avbildningen ikke er en polynom-automorfisme . Artikkelen konstruerer også uendelige familier av slike moteksempler .

Status for to-variabel-tilfellet

Jacobiansk formodning for n = 2 (to komplekse variabler) forblir et åpent problem per juli 2026. Moteksemplelet tilbakeviser kun formodningen for dimensjoner n ≥ 3 .

Nåværende status for verifikasjon og fagfellevurdering

Per 22. juli 2026 er følgende kjent:

• Matematisk troverdig: Moteksemplelet er eksplisitt og mekanisk etterprøvbart. Matematikere tar det på alvor . En formell verifikasjon i Lean 4 har blitt produsert og består kontinuerlige integrasjonstester .
• Ingen fagfellevurdert publisering ennå: Det finnes ingen publisert fagfellevurdert artikkel eller arXiv-preprint per siste rapporter . Materialet eksisterer som et innlegg på sosiale medier og en PDF på ulam.ai, men har ikke vært gjennom formell tidsskriftvurdering.
• Wikipedia har oppdatert: Wikipedia-artikkelen om Jacobiansk formodning oppgir nå moteksemplelet som en tilbakevisning for N > 2 .
• Vurdering i miljøet: Konsensus blant kommentatorer er at matematikken nesten helt sikkert er korrekt, men formell aksept og sitering i den offisielle litteraturen gjenstår per denne datoen . Resultatet tilskrives et menneske–AI-samarbeid, ikke at Claude handlet alene .

Hovedkonklusjon: Jacobiansk formodning ser ut til å være genuint falsk i dimensjoner ≥ 3. Tilfellet med to variabler forblir åpent. Moteksemplelet er matematisk forsvarlig og har blitt uavhengig verifisert, men har ennå ikke gjennomgått formell fagfellevurdering.