OpenAI’s claim over 100+ open wiskundeproblemen: wat weten we wel en niet?

OpenAI’s aankondiging van 21 september is een uitzonderlijke bedrijfsclaim, geen al breed geaccepteerd wiskundig resultaat. Het bedrijf stelde dat een niet nader genoemd intern model, waarvan de training op 28 augustus begon, meer dan 100 langdurig open problemen in vrijwel alle gebieden van de wiskunde had opgelost. De mededeling kwam tegelijk met de aankondiging van een onafhankelijke adviesgroep voor wiskunde, ondergebracht bij het Institute for Advanced Study (IAS) in Princeton. 515

Het essentiële onderscheid: een bedrijf kan zeggen dat het een oplossing heeft gevonden, maar pas onafhankelijke toetsing en acceptatie door vakgenoten maken daar een geaccepteerde stelling van. De publieke informatie ondersteunt voorlopig het eerste, niet het tweede — zeker niet voor de volledige lijst van ruim honderd problemen.

Wat OpenAI precies claimde

De aankondiging volgde op de eerdere claim van 8 september. OpenAI zei toen dat ongeveer 10.000 AI-agenten met een niet-uitgebracht intern model in 88 uur een oplossing hadden gevonden voor een geforceerde driedimensionale Navier–Stokes-vergelijking. Volgens het bedrijf toont die oplossing aan dat in eindige tijd een singulariteit kan ontstaan en beantwoordt zij daarmee het Navier–Stokes-probleem over bestaan en gladheid. OpenAI stelde zowel een analytisch bewijs als een formalisering in Lean te hebben geproduceerd. 113

Op 21 september breidde het bedrijf dit uit: naast Navier–Stokes zou hetzelfde interne model meer dan 100 langdurig open problemen hebben opgelost. 515

Het woord opgelost is hierbij OpenAI’s eigen kwalificatie. Het betekent niet automatisch dat elk resultaat is gepubliceerd, door onafhankelijke specialisten is gecontroleerd of door de wiskundige gemeenschap is aanvaard.

Wat is openbaar gemaakt — en wat niet?

Voor de Navier–Stokes-claim beschreef OpenAI publiekelijk een analytisch bewijs plus een formalisering in Lean, een taal voor bewijsassistenten. Dat is relevante onderbouwing: een Lean-controle kan vaststellen dat een nauwkeurig geformuleerde stelling logisch volgt uit de ingevoerde definities, axioma’s en eerdere onderdelen van de formele bibliotheek. 13

De publieke onderbouwing van de claim over meer dan 100 problemen is veel beperkter. De aankondiging van 21 september bevatte geen openbare, gespecificeerde catalogus met:

• de namen en exacte formuleringen van alle problemen;
• de bijbehorende bewijzen;
• de status van eventuele Lean-formaliseringen;
• informatie over herkomst en auteurschap;
• onafhankelijke beoordeling per resultaat.

Zonder zo’n overzicht kan de claim van 100+ oplossingen niet probleem voor probleem van buitenaf worden gecontroleerd. 711

Ook voor het Navier–Stokes-bewijs is op basis van de beschikbare berichtgeving geen afgeronde onafhankelijke peerreview of algemene acceptatie in de wiskunde aangetoond. Dat zijn andere, zwaardere maatstaven dan het beschikbaar stellen van een bewijsartefact of het succesvol laten compileren van code. 146

Is de Hodge-conjectuur opgelost?

Nee: in het aangeleverde openbare materiaal is geen basis om de Hodge-conjectuur als opgelost te beschouwen.

De Hodge-conjectuur is een van de Millennium Prize Problems van het Clay Mathematics Institute. 37 Berichtgeving meldde dat OpenAI substantiële vooruitgang zou hebben erkend bij een tweede, niet genoemd Millenniumprobleem. Het bedrijf heeft echter niet publiekelijk gezegd dat dit de Hodge-conjectuur betreft en heeft er geen bewijs voor vrijgegeven. 14

Een gerucht, bericht over vooruitgang of bedrijfsmededeling vervangt geen gepubliceerd bewijs dat onderzoekers kunnen bestuderen. Zolang een precieze stelling en de onderbouwing niet openbaar zijn en onafhankelijk zijn beoordeeld, is een OpenAI-oplossing voor de Hodge-conjectuur niet vastgesteld.

Waarom een Lean-bewijs geldig kan zijn, maar toch moeilijk te beoordelen

Formele verificatie en menselijk wiskundig begrip zijn nauw verbonden, maar niet hetzelfde.

Een Lean-formalisering kan sterke zekerheid geven dat een gecodeerde stelling geen logische sprong bevat binnen de formele opzet. Formele bewijsscripts werken echter veel gewone redeneringsstappen uit in definities, hulpstellingen, afhankelijkheden van bibliotheken, herschrijvingen en technische deelstappen. Daardoor kan een bewijs voor menselijke experts moeilijk leesbaar zijn als conceptueel argument.

Dat betekent niet dat “het compileert” waardeloos is. Wel beantwoordt compilatie op zichzelf niet alle vragen die wiskundigen willen kunnen beantwoorden:

• Komt de formele stelling exact overeen met het bedoelde Millenniumprobleem?
• Wat is het centrale idee achter de constructie of het mechanisme van de singulariteit?
• Welke schattingen of argumenten doen het echte intellectuele werk?
• Is het resultaat robuust, nieuw en bruikbaar als fundament voor vervolgonderzoek?
• Hoe moeten eerdere ideeën en bijdragen van anderen worden gecrediteerd?

Formele controle kan dus een belangrijk deel van verificatie zijn. Maar zij levert niet automatisch een heldere menselijke uitleg, regelt geen prioriteitskwesties en creëert geen vakbrede consensus.

Kritiek: erkenning, prioriteit en onderzoeksnormen

De aankondiging leidde niet alleen tot technische vragen. Vijfentwintig Fieldsmedaillewinnaars ondertekenden de open brief A Severe Misalignment of AI in Mathematics. Zij keerden zich tegen een wedloop tussen AI-labs waarin beroemde wiskundeproblemen als demonstratie van modelcapaciteit worden gebruikt. Volgens de berichtgeving waarschuwden de ondertekenaars voor schade aan onder meer de onderzoekscultuur en de opleiding van wiskundigen. 1921

Daarnaast ontstond een geschil over prioriteit rond de wiskundigen Tristan Buckmaster en Levent Alpöge. Buckmaster schreef destijds dat hij had vernomen dat een intern OpenAI-systeem een bewijs had voor eindige-tijd-blow-up bij geforceerde Navier–Stokes-vergelijkingen. Hij stelde ook dat hij en Alpöge druk voelden om gerelateerd werk openbaar te maken voordat hun verificatie en uitleg af waren. Een apart resultaat over hypo-dissipatieve Navier–Stokes werd volgens zijn verklaring niet vrijgegeven omdat de Lean-verificatie nog niet gereed was. 17

Die verklaring is relevant bewijs van een conflict over timing, erkenning en publicatiedruk. Op zichzelf bewijst zij niet dat OpenAI werk van anderen heeft gekopieerd. OpenAI zei dat het pas aan het probleem begon te werken nadat het een gerucht hoorde over een doorbraak van beide wiskundigen, en dat het een gelijktijdige publicatie met erkenning van hun prioriteit had aangeboden. 32

De open vraag gaat daarom verder dan de vraag of AI een bewijs kan genereren. Ook van belang is of AI-ondersteunde ontdekkingen worden gepubliceerd op een manier die zorgvuldige bronvermelding, onafhankelijke controle en normale wetenschappelijke uitwisseling mogelijk maakt.

Wat de IAS-adviesgroep wel en niet kan doen

OpenAI kondigde een onbetaalde, onafhankelijke adviesgroep van negen leden aan: de Advisory Group on Mathematics and Artificial Intelligence. De groep is ondergebracht bij het Institute for Advanced Study in Princeton. Onder de gemelde leden zijn Timothy Gowers en Martin Hairer. 45

De bedoeling is dat wiskundigen een rol krijgen bij het beoordelen en communiceren van door AI gegenereerd werk, onder meer via advies over toetsing en publicatiepraktijken. 515

De groep heeft echter een adviserende, geen toezichthoudende rol. Volgens beschikbare berichtgeving kan zij OpenAI niet verplichten om onderliggende bewijzen vrij te geven, niet bepalen wanneer het bedrijf onderzoek publiceert, geen aankondigingen blokkeren en auteurschap niet definitief vaststellen. 7

Dat verschil is cruciaal: deskundig advies kan transparantie en communicatie verbeteren, maar verandert een interne bedrijfsclaim niet op eigen kracht in een algemeen geaccepteerde wiskundige stelling.

Waarom er nog geen Millennium Prize kan worden toegekend

De voorwaarden van het Clay Mathematics Institute zijn duidelijk. Voordat het instituut een voorgestelde oplossing voor een Millennium Prize Problem in behandeling neemt, moet die oplossing in een gekwalificeerd publicatiekanaal zijn verschenen, moeten er minstens twee jaar zijn verstreken sinds die publicatie en moet het werk brede acceptatie binnen de internationale wiskundegemeenschap hebben gekregen. 46

Een bedrijfsblog, preprint, coderepository of beoordeling door een adviesgroep voldoet niet automatisch aan die voorwaarden. Het Clay Mathematics Institute benadrukte na de Navier–Stokes-aankondiging bovendien dat de regels zowel de beoordeling van de prestatie als de toekenning van erkenning regelen. 42

Zelfs als OpenAI’s Navier–Stokes-resultaat of een later resultaat uiteindelijk correct blijkt, maakten de aankondigingen van september de resultaten dus niet meteen prijswaardig. Het werk moet eerst het gebruikelijke traject van publicatie, beoordeling en acceptatie doorlopen.

Conclusie

OpenAI claimde dat een intern AI-model meer dan 100 open wiskundeproblemen had opgelost, na de eerdere claim over een in Lean geformaliseerde oplossing voor Navier–Stokes. Voor Navier–Stokes bestaan openbare artefacten; voor de bredere portefeuille is er nog geen publiek, per probleem controleerbaar dossier. 1311

De zorgvuldige conclusie is daarom noch onmiddellijke afwijzing, noch onmiddellijke aanvaarding. Het zijn potentieel belangrijke claims die transparante bewijzen, toetsing door experts, zorgvuldige erkenning van bijdragen en tijd nodig hebben. Dat geldt in het bijzonder voor elke suggestie dat nog een Millenniumprobleem, zoals de Hodge-conjectuur, zou zijn opgelost.