AI en wiskunde: Hoe een 216-karakter tellende formule een 87 jaar oud vermoeden onderuit haalde

Het Jacobiaanse vermoeden

Het Jacobiaanse vermoeden is een fundamenteel probleem in de algebraïsche meetkunde. Het werd voor het eerst voor twee variabelen geformuleerd door Ludwig Kraus in 1884 en volledig veralgemeend naar N variabelen door Ott-Heinrich Keller in 1939 . Het vermoeden stelt: als een polynoomfunctie F: ℂⁿ → ℂⁿ een Jacobiaanse determinant (de determinant van de matrix van partiële afgeleiden) heeft die overal een constante, niet-nul waarde is, dan moet F een polynoom-automorfisme zijn – dat wil zeggen: F heeft een polynoom-inverse en is dus bijectief . Zulke afbeeldingen worden Keller-afbeeldingen genoemd. Het vermoeden stond op nummer 16 van Stephen Smales lijst van Wiskundige Problemen voor de 21e Eeuw (1998) en stond bekend om het aantrekken van vele foutieve bewijzen .

Hoe Levent Alpöge Claude Fable 5 gebruikte

In de nacht van 19 op 20 juli 2026, terwijl hij naar de finale van het FIFA Club Wereldkampioenschap keek, werd wiskundige Levent Alpöge – een getaltheoreticus die bij Anthropic werkt na een Junior Fellowship aan Harvard's Society of Fellows – door een vriend genaamd Akhil Mathew gevraagd naar het Jacobiaanse vermoeden . Alpöge legde de vraag voor aan Anthropic's Claude Fable 5 model. Het model kwam terug met een concrete 216-karakter tellende polynoomafbeelding die voldeed aan de voorwaarde van een constante, niet-nul Jacobiaanse determinant, maar die niet injectief was, en daarmee de conclusie van het vermoeden schond .

Alpöge plaatste het resultaat op X op 19 juli 2026 met de woorden: "hallo daar, het Jacobiaanse vermoeden is onjuist, dank aan mijn goede vriend akhil voor ernaar te vragen en mijn andere goede vriend fable voor het werk tijdens de wereldbekerfinale" .

Het specifieke tegenvoorbeeld

Het tegenvoorbeeld is een polynoomafbeelding F: ℂ³ → ℂ³ die expliciet wordt gedefinieerd als :

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

Twee cruciale eigenschappen zijn van toepassing :

• Jacobiaanse determinant: det Jac F = −2 (een constante, niet-nul), dus F is een Keller-afbeelding.
• Niet-injectiviteit: Drie verschillende invoerpunten geven allemaal dezelfde uitvoer (-1/4, 0, 0):
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

Omdat een niet-injectieve afbeelding geen polynoom-inverse (of welke inverse dan ook) kan hebben, spreekt F het Jacobiaanse vermoeden tegen. De constructie werkt over elk veld van karakteristiek nul, aangezien alle coëfficiënten en getuigenpunten rationeel zijn .

Een bijbehorende preprint (gedateerd 20 juli 2026) geeft een volledige algebraïsche verificatie, bepaalt de globale geometrie van F, en bewijst dat de verzameling van niet-properheid van F een hypersurface is – het mechanisme waardoor de afbeelding geen polynoom-automorfisme is . Het artikel construeert ook oneindige families van dergelijke tegenvoorbeelden .

Status van het geval met twee variabelen

Het Jacobiaanse vermoeden voor n = 2 (twee complexe variabelen) blft een open probleem per juli 2026. Het tegenvoorbeeld weerlegt het vermoeden alleen voor dimensies n ≥ 3 .

Huidige status van verificatie en peer review

Per 22 juli 2026 is het volgende bekend:

• Wiskundig geloofwaardig: Het tegenvoorbeeld is expliciet en mechanisch controleerbaar. Wiskundigen nemen het serieus . Een formele verificatie in Lean 4 is geproduceerd en doorstaat de continue-integratie-builds .
• Nog geen peer-reviewed publicatie: Er is geen gepubliceerd peer-reviewed artikel of arXiv-preprint volgens de laatste berichten . Het materiaal bestaat als een socialemediapost en een bijbehorende PDF op ulam.ai, maar heeft geen formele tijdschriftbeoordeling ondergaan.
• Wikipedia is bijgewerkt: De Wikipedia-pagina over het Jacobiaanse vermoeden vermeldt nu het tegenvoorbeeld als weerlegging van het vermoeden voor N > 2 .
• Beoordeling door de gemeenschap: De consensus onder commentatoren is dat de wiskunde vrijwel zeker correct is, maar formele acceptatie en citatie in de officiële literatuur zijn per deze datum nog in afwachting . Het resultaat wordt toegeschreven aan een mens-AI-samenwerking, niet aan Claude die alleen handelde .

Conclusie: Het Jacobiaanse vermoeden lijkt echt onjuist te zijn voor dimensies ≥ 3. Het geval met twee variabelen blijft open. Het tegenvoorbeeld is wiskundig solide en onafhankelijk geverifieerd, maar heeft nog geen formele peer review doorlopen.