AI en wiskunde: Hoe een 216-karakter tellende formule een 87 jaar oud vermoeden onderuit haalde

Hoe Levent Alpöge Claude Fable 5 gebruikte

In de nacht van 19 op 20 juli 2026, terwijl hij naar de finale van het FIFA Club Wereldkampioenschap keek, werd wiskundige Levent Alpöge – een getaltheoreticus die bij Anthropic werkt na een Junior Fellowship aan Harvard's Society of Fellows – door een vriend genaamd Akhil Mathew gevraagd naar het Jacobiaanse vermoeden . Alpöge legde de vraag voor aan Anthropic's Claude Fable 5 model. Het model kwam terug met een concrete 216-karakter tellende polynoomafbeelding die voldeed aan de voorwaarde van een constante, niet-nul Jacobiaanse determinant, maar die niet injectief was, en daarmee de conclusie van het vermoeden schond .

Alpöge plaatste het resultaat op X op 19 juli 2026 met de woorden: "hallo daar, het Jacobiaanse vermoeden is onjuist, dank aan mijn goede vriend akhil voor ernaar te vragen en mijn andere goede vriend fable voor het werk tijdens de wereldbekerfinale" .

Het specifieke tegenvoorbeeld

Het tegenvoorbeeld is een polynoomafbeelding F: ℂ³ → ℂ³ die expliciet wordt gedefinieerd als :

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

Twee cruciale eigenschappen zijn van toepassing :

• Jacobiaanse determinant: det Jac F = −2 (een constante, niet-nul), dus F is een Keller-afbeelding.
• Niet-injectiviteit: Drie verschillende invoerpunten geven allemaal dezelfde uitvoer (-1/4, 0, 0):
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

Omdat een niet-injectieve afbeelding geen polynoom-inverse (of welke inverse dan ook) kan hebben, spreekt F het Jacobiaanse vermoeden tegen. De constructie werkt over elk veld van karakteristiek nul, aangezien alle coëfficiënten en getuigenpunten rationeel zijn .

Een bijbehorende preprint (gedateerd 20 juli 2026) geeft een volledige algebraïsche verificatie, bepaalt de globale geometrie van F, en bewijst dat de verzameling van niet-properheid van F een hypersurface is – het mechanisme waardoor de afbeelding geen polynoom-automorfisme is . Het artikel construeert ook oneindige families van dergelijke tegenvoorbeelden .

Status van het geval met twee variabelen

Het Jacobiaanse vermoeden voor n = 2 (twee complexe variabelen) blft een open probleem per juli 2026. Het tegenvoorbeeld weerlegt het vermoeden alleen voor dimensies n ≥ 3 .

Huidige status van verificatie en peer review

Per 22 juli 2026 is het volgende bekend:

• Wiskundig geloofwaardig: Het tegenvoorbeeld is expliciet en mechanisch controleerbaar. Wiskundigen nemen het serieus . Een formele verificatie in Lean 4 is geproduceerd en doorstaat de continue-integratie-builds .
• Nog geen peer-reviewed publicatie: Er is geen gepubliceerd peer-reviewed artikel of arXiv-preprint volgens de laatste berichten . Het materiaal bestaat als een socialemediapost en een bijbehorende PDF op ulam.ai, maar heeft geen formele tijdschriftbeoordeling ondergaan.
• Wikipedia is bijgewerkt: De Wikipedia-pagina over het Jacobiaanse vermoeden vermeldt nu het tegenvoorbeeld als weerlegging van het vermoeden voor N > 2 .
• Beoordeling door de gemeenschap: De consensus onder commentatoren is dat de wiskunde vrijwel zeker correct is, maar formele acceptatie en citatie in de officiële literatuur zijn per deze datum nog in afwachting . Het resultaat wordt toegeschreven aan een mens-AI-samenwerking, niet aan Claude die alleen handelde .

Conclusie: Het Jacobiaanse vermoeden lijkt echt onjuist te zijn voor dimensies ≥ 3. Het geval met twee variabelen blijft open. Het tegenvoorbeeld is wiskundig solide en onafhankelijk geverifieerd, maar heeft nog geen formele peer review doorlopen.