Claude AI、未解決のリーマン予想に挑み「副産物」で半世紀超の数学的限界を突破

改善された具体的な数値

今回改善されたのは、リーマンゼータ関数の非自明な零点のうち、リーマン予想が正しいとされる「クリティカルライン（実部1/2）」上に存在することが数学的に証明されている割合の下限です。

• 以前の下限: 41.6%（46年以上にわたる人類の研究の積み上げ）
• 新しい下限: 67.2%（正確な定数は約 3/2 − (1/√2) cot(1/√2) ≈ 67.25%）

これは下限をほぼ倍増させる画期的な成果ですが、リーマン予想の証明ではありません。リーマン予想が主張する「100%の零点がクリティカルライン上にある」ことを示すものではないからです。

実験の全貌：数学未経験者の「励まし」から生まれた奇跡

この驚くべき発見は、数学の専門知識を持たないAnthropicスタッフ、Jarred Sumner氏の「ちょっと本気で取り組んでみてよ」という一言から始まりました。

• 第1セッション: Claudeは650のアイデアを生成しましたが、全て失敗。Sumner氏は「続けて」「自分を信じて」と励まし続けました。
• 第2セッション（36時間）: Claudeは約60のサブエージェントを動員し、2,400のシェルコマンドを実行。数百のPythonスクリプトを書き、既知のゼータ零点に対して数千回の数値チェックを実施しました。サブエージェント同士が互いの作業をレビューする仕組みも導入されました。
• 人間の役割: Sumner氏の入力はほぼ全てが励ましの言葉だけ。これにより、Claudeは「自分には意味のある進歩はできない」という初期の懐疑心を克服したとされています。
• 総出力: 2回のセッションで約31億トークンを消費。Claudeは自ら結果を論文にまとめ、人間の専門家による検証を提案しました。

組み合わされた二つの技術

Claudeの画期的な洞察は、それまで独立していた二つの研究系統を接続したことにあります。

1. Baluyot、Goldston、Suriajaya、Turnage-Butterbaughによる最近の研究（2023〜2025年）: モンゴメリーのペア相関法からリーマン予想の仮定を取り除き、無条件で使用できるようにした一連の論文。
2. Bombieriによる2000年の論文: 解析的整数論における相補的な手法を提供。

Claudeは、Weilによって導入された二次形式を持つ関数空間全体を考慮し、クリティカルライン上/外の零点からの正定値部分空間と負定値部分空間を同時に扱うことで、二次形式を非対角にしました。これにより、一次・二次モーメント情報を用いたランク不等式を導き、新たな下限を達成しました。

検証と専門家の見解

• 内部検証: Anthropicの数学者、Levent Alpöge氏とRalph Furman氏がClaudeの論文を検証し確認。
• 外部専門家によるレビュー: この分野の第一人者であるBrian Conrey氏とDan Goldston氏が短期間で結果を精査し、有効性を認めました。
• 形式的証明（Lean）: ClaudeはスタッフのEric Easley氏と協力し、定理証明支援系Leanによる形式的証明を完成。標準的なLean検証ツールを通過しています。
• Anthropicの注意書き: 「今回の手法がリーマン予想の証明につながるとは考えていない」——このアプローチは意味のある、しかし限定的な改善であり、予想の完全解決への道筋を示すものではないと明確にされています。