ヤコビアン予想とは何か、そして数学者レベント・アルポゲがAnthropicのClaude Fable 5を使ってどのように反例を発見したのか

ヤコビアン予想とは

ヤコビアン予想（Jacobian conjecture）は代数幾何学における中心的な未解決問題で、1884年にルートヴィヒ・クラウスが2変数の場合を定式化し、1939年にオット＝ハインリヒ・ケラーがN変数に一般化しました。この予想は、多項式関数F: ℂⁿ→ℂⁿのヤコビ行列式（偏微分の行列の行列式）が至るところで非ゼロの定数であれば、Fは多項式自己同型（多項式の逆写像を持ち、全単射となる）であると主張します。このような写像はケラー写像と呼ばれます。この予想はスティーブン・スメイルが1998年に挙げた21世紀の数学問題リストの第16番に選ばれており、これまで多くの誤った証明が発表されてきたことでも有名です。

レベント・アルポゲがClaude Fable 5をどう使ったか

2026年7月19〜20日の夜、FIFAクラブワールドカップ決勝を観戦中だった数学者レベント・アルポゲ（Anthropic社所属、ハーバード大学ソサエティ・オブ・フェローズのジュニアフェローを経て数論研究者）は、友人アクヒル・マシューからヤコビアン予想について質問されました。アルポゲはAnthropicのClaude Fable 5モデルにこの問題に取り組むよう依頼。モデルは、非ゼロ定数のヤコビ行列式を持つ条件を満たしながら単射ではない、具体的な216文字の多項式写像を返しました。

アルポゲは2026年7月19日にX（旧Twitter）に結果を投稿し、次のように述べています："hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final"（やあ、ヤコビアン予想は偽です。親友のアクヒルが質問してくれて、もう一人の親友のフェイブルがW杯決勝中に取り組んでくれたおかげです）。

具体的な反例

反例は多項式写像 F: ℂ³→ℂ³ で、次のように明示的に定義されます：

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

以下が重要な性質です：

• ヤコビ行列式：det Jac F = −2（非ゼロ定数）。したがってFはケラー写像です。
• 非単射性：3つの異なる入力点がすべて同じ出力 (-1/4, 0, 0) に写ります：
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

非単射な写像は多項式逆写像（いかなる逆写像も）を持たないため、Fはヤコビアン予想に反します。すべての係数と証拠点が有理数であるため、この構成は標数0の任意の体で機能します。

補足のプレプリント（2026年7月20日付）は完全な代数的検証を提供し、Fの大局的幾何を決定し、Fの非プロパー集合が超曲面であることを証明しています——これが写像が多項式自己同型にならないメカニズムです。論文はさらに、そのような反例の無限族を構築しています。

2変数の場合の現状

n = 2（2複素変数）の場合のヤコビアン予想は、2026年7月時点でも未解決のままです。今回の反例はn ≥ 3の次元でのみ予想を否定するものです。

検証と査読の現状

2026年7月22日時点で、以下の状況が確認されています：

• 数学的に信頼できる：反例は明示的で機械的に確認可能です。数学者たちはこれを真剣に受け止めています。定理証明支援システム Lean 4 による形式検証が完了し、CIビルドを通過しています。
• 査読付き論文は未公表：最新の報告時点で、査読付き論文やarXivプレプリントは存在しません。内容はソーシャルメディアの投稿とulam.ai上の補足PDFとして存在しますが、正式なジャーナル査読は受けていません。
• Wikipediaが更新：ヤコビアン予想のWikipedia項目は、今回の反例がN > 2の場合に予想を否定するものとして記載しています。
• コミュニティの評価：コメンテーターの間では、数学的にほぼ間違いなく正しいというコンセンサスがありますが、正式な受理と引用は本稿執筆時点でまだ保留中です。この成果は、Claude単独ではなく、人間とAIのコラボレーションによるものとされています。

結論：ヤコビアン予想は3次元以上で実際に偽であることが証明されたようです。2変数の場合は依然として未解決です。反例は数学的に健全で独立検証も済んでいますが、正式な査読はまだ完了していません。