AI contro AI: la corsa di Astra e Claude Fable per risolvere problemi matematici decennali

La congettura di Jacobian: il primo colpo

La congettura di Jacobian, formulata da Ott-Heinrich Keller nel 1939, è un problema aperto di geometria algebrica e occupa il 16° posto nella lista dei problemi per il XXI secolo elaborata dal vincitore della medaglia Fields Stephen Smale . In termini semplificati, chiede se una mappa polinomiale da C³ a C³, con determinante jacobiano costante e diverso da zero in ogni punto, debba essere necessariamente invertibile globalmente.

Per 87 anni nessuno aveva trovato né una dimostrazione né un controesempio. Alpöge, lavorando con Claude Fable 5, ha invece individuato una mappa F = (P, Q, R): C³ → C³ con determinante jacobiano costante pari a −2, ma capace di associare lo stesso risultato a tre input distinti. È proprio il tipo di controesempio che smentisce direttamente la congettura .

Il risultato è stato formalizzato in Lean 4, un linguaggio e assistente per la verifica formale delle dimostrazioni, e controllato entro un giorno da diversi matematici, tra cui Kevin Buzzard dell'Imperial College London . Alcuni esperti lo hanno definito il problema matematico più difficile mai risolto con l'aiuto dell'AI .

Astra di OpenAI: dieci problemi per circa 2.000 dollari

Il 1° agosto OpenAI ha pubblicato un rapporto su una versione interna di Astra, descritta come il suo «prossimo grande modello». Secondo l'azienda, il sistema ha prodotto nuovi risultati su dieci problemi di matematica e informatica teorica che non avevano registrato progressi sostanziali da almeno dieci anni, e spesso da molto più tempo .

OpenAI ha diffuso un manoscritto di 249 pagine, insieme a spiegazioni del ragionamento generate dal modello e a certificati Lean 4 verificabili automaticamente. Il repository su GitHub indica un conteggio di “sorry” pari a zero: in pratica, nessun passaggio delle dimostrazioni formalizzate è stato lasciato come assunto non verificato .

La società stima che il costo dei token necessari a generare tutti e dieci i risultati sarebbe stato di circa 2.000 dollari, calcolato alle tariffe API .

I dieci risultati dichiarati da OpenAI

• Gruppi non sofici, in teoria dei gruppi: prima costruzione esplicita di un gruppo non sofico, una questione aperta da quando Mikhail Gromov introdusse il concetto nel 1999 .
• Limiti inferiori per circuiti del permanente, nell'ambito della complessità dei circuiti .
• Impacchettamento di sfere in alta dimensione: nuovi limiti superiori sulla densità, fino alla soglia di Cohn–Elkies .
• Codici binari e sferici: miglioramenti esponenziali rispetto a limiti superiori classici .
• Algebre di operatori: un controesempio alla congettura di rigidità di Connes sulle algebre di von Neumann associate ai gruppi .
• Ripetizione parallela quantistica: un risultato valido per tutti i giochi con sistemi entangled .
• Crittografia basata sui reticoli: un nuovo risultato sul problema del vettore più vicino .
• Combinatoria estremale: risoluzione dei problemi di Erdős numero 146, 180 e 183 .
• Geometria ad alta dimensione: una nuova costruzione geometrica .
• Congettura di Ehrhart: risoluzione di una questione relativa al conteggio dei punti reticolari .

Questi risultati non corrispondono ai celebri problemi del Millennio, come l'ipotesi di Riemann o P contro NP. Restano però problemi tecnici importanti, sui quali i ricercatori non avevano ottenuto progressi sul risultato centrale per almeno un decennio .

La replica di Anthropic: Fable ne riproduce cinque

Entro 24 ore dall'annuncio di OpenAI, Alpöge ha scritto su X di aver usato Claude Fable, nella versione già disponibile al pubblico e non un modello inedito, per risolvere in modo indipendente cinque degli stessi dieci problemi .

Secondo la sua descrizione:

• ha utilizzato prompt generici, senza accesso a Internet;
• ha adottato misure per impedire al modello di vedere le soluzioni pubblicate da OpenAI ;
• Fable avrebbe prodotto i risultati autonomamente nell'arco di poche ore ;
• i problemi riguardavano, tra gli altri, la complessità dei circuiti aritmetici, la ripetizione parallela quantistica, la crittografia reticolare e il problema del vettore più vicino ;
• solo una delle cinque dimostrazioni avrebbe usato essenzialmente lo stesso argomento, mentre le altre quattro potrebbero essere indipendenti .

Alpöge non ha sostenuto che Fable abbia risolto tutti e dieci i problemi. La sua tesi è più circoscritta: un modello già accessibile al pubblico avrebbe riprodotto metà dei risultati di Astra con una guida umana minima . In questo modo, la replica mette in discussione l'idea che la capacità mostrata da OpenAI sia esclusiva del modello Astra .

Che cosa cambia per la ricerca matematica

Il costo diventa un parametro della competizione. La cifra di 2.000 dollari porta in primo piano l'efficienza economica . Se un sistema può generare risultati matematici originali a poche centinaia di dollari per problema, la difficoltà principale potrebbe spostarsi dalla scoperta alla verifica, alla comprensione e all'interpretazione dei risultati.

Le dimostrazioni verificabili dalla macchina acquistano peso. Sia il controesempio alla congettura di Jacobian sia i risultati attribuiti ad Astra sono stati formalizzati in Lean 4 . Il fatto che una dimostrazione possa essere controllata in ore o giorni, anziché richiedere anni di esame informale, alimenta l'ipotesi che i certificati Lean possano diventare uno standard decisivo per alcuni settori della matematica .

Questo non elimina però il ruolo dei matematici: occorre ancora stabilire quale problema sia stato davvero risolto, comprendere l'importanza del risultato e verificare che la formalizzazione rappresenti correttamente l'affermazione originale.

L'autorialità resta una zona grigia. Nel caso della congettura di Jacobian, chi è l'autore della scoperta: il matematico che ha impostato il problema, il modello che ha trovato il controesempio o l'azienda che lo ha sviluppato? Alpöge ha attribuito il risultato sia a un collega umano sia a Claude Fable 5 . Le riviste accademiche non hanno ancora una politica uniforme sull'eventuale coautorialità dei sistemi di AI, mentre questi risultati sono stati diffusi soprattutto tramite X e GitHub, invece che attraverso un processo tradizionale di revisione tra pari .

Le cautele da mantenere

La corsa tra Astra e Fable si basa, per ora, su risultati annunciati da OpenAI e da un ricercatore di Anthropic. Le dimostrazioni formalizzate in Lean offrono un forte livello di verificabilità automatica, ma le affermazioni non hanno ancora completato la revisione accademica formale .

Inoltre, non è stata resa pubblica in modo completo la corrispondenza tra i cinque problemi riprodotti da Claude Fable e i dieci risultati di Astra . Le informazioni disponibili indicano aree come la complessità dei circuiti aritmetici, la ripetizione parallela quantistica e la crittografia reticolare, ma l'elenco dettagliato resta non confermato .

Per questo il significato più solido dell'episodio non è ancora che l'AI abbia sostituito i matematici. È che i modelli stanno entrando in una fase in cui possono proporre congetture, controesempi e dimostrazioni abbastanza sofisticati da essere sottoposti rapidamente a controlli formali. Il ritmo, osservano alcuni matematici, è ormai «molto rapido e disorientante» .