Congettura di Jacobi: un controesempio di 216 caratteri generato dall'IA Claude Fable 5 la smentisce dopo 87 anni

La Congettura di Jacobi

La congettura di Jacobi è un problema centrale della geometria algebrica. Fu formulata per la prima volta per due variabili da Ludwig Kraus nel 1884 e generalizzata a N variabili da Ott-Heinrich Keller nel 1939 . Essa afferma che se una funzione polinomiale F: ℂⁿ → ℂⁿ ha un determinante jacobiano (il determinante della matrice delle derivate parziali) che è una costante non nulla ovunque, allora F deve essere un automorfismo polinomiale — ovvero deve possedere un inverso polinomiale ed essere quindi biettiva . Tali mappe sono chiamate mappe di Keller. La congettura era al numero 16 nella lista del 1998 di Stephen Smale dei "Problemi Matematici per il Prossimo Secolo" ed era nota per attrarre numerose dimostrazioni errate .

Come Levent Alpöge ha usato Claude Fable 5

Nella notte tra il 19 e il 20 luglio 2026, mentre guardava la finale del Mondiale per club FIFA, il matematico Levent Alpöge — un teorico dei numeri che lavora presso Anthropic dopo aver ottenuto una Junior Fellowship alla Society of Fellows di Harvard — è stato interrogato sulla congettura di Jacobi da un amico di nome Akhil Mathew . Alpöge ha chiesto al modello Claude Fable 5 di Anthropic di lavorare sul problema. Il modello ha restituito una concreta mappa polinomiale di 216 caratteri che soddisfaceva la condizione di avere un determinante jacobiano costante non nullo ma non era iniettiva, violando così la conclusione della congettura .

Alpöge ha pubblicato il risultato su X il 19 luglio 2026, scrivendo: "Ciao a tutti, la congettura di Jacobi è falsa, grazie al mio caro amico Akhil per avermene chiesto e al mio altro caro amico Fable per aver lavorato durante la finale del Mondiale" .

Il Controesempio Specifico

Il controesempio è una mappa polinomiale F: ℂ³ → ℂ³ definita esplicitamente come :

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

Valgono due proprietà chiave :

• Determinante jacobiano: det Jac F = −2 (una costante non nulla), quindi F è una mappa di Keller.
• Non-iniettività: Tre punti distinti di input mappano tutti allo stesso output (-1/4, 0, 0):
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

Poiché una mappa non iniettiva non può avere un inverso polinomiale (né di alcun tipo), F contraddice la congettura di Jacobi. La costruzione funziona su qualsiasi campo di caratteristica zero poiché tutti i coefficienti e i punti di verifica sono razionali .

Un preprint companion (datato 20 luglio 2026) fornisce una verifica algebrica completa, determina la geometria globale di F e dimostra che l'insieme di non-proprietà di F è un'ipersuperficie — il meccanismo attraverso cui la mappa non è un automorfismo polinomiale . Il documento costruisce inoltre famiglie infinite di tali controesempi .

Stato del Caso a Due Variabili

La congettura di Jacobi per n = 2 (due variabili complesse) rimane un problema aperto a luglio 2026. Il controesempio confuta la congettura solo per dimensioni n ≥ 3 .

Stato Attuale della Verifica e della Revisione Paritaria

Al 22 luglio 2026, la situazione è la seguente:

• Matematicamente credibile: Il controesempio è esplicito e verificabile meccanicamente. I matematici lo stanno prendendo sul serio . Una verifica formale in Lean 4 è stata prodotta e supera i test di integrazione continua .
• Nessuna pubblicazione peer-reviewed ancora: Non esiste un articolo pubblicato in una rivista con revisione paritaria né un preprint su arXiv al momento degli ultimi rapporti . Il materiale esiste come post sui social media e un PDF companion su ulam.ai, ma non ha ancora superato una revisione formale.
• Wikipedia è stata aggiornata: La pagina di Wikipedia sulla congettura di Jacobi ora elenca il controesempio come confutazione della congettura per N > 2 .
• Valutazione della comunità: Il consenso tra i commentatori è che la matematica sia quasi certamente corretta, ma l'accettazione formale e la citazione nei registri ufficiali sono ancora in sospeso al momento . Il risultato è attribuito a una collaborazione uomo–IA, non a Claude che agisce da solo .

In sintesi: La congettura di Jacobi appare genuinamente falsa in dimensioni ≥ 3. Il caso a due variabili rimane aperto. Il controesempio è matematicamente solido ed è stato verificato in modo indipendente, ma non ha ancora completato la revisione paritaria formale.