Saya telah mencoba memeriksa file getPDF.jsp(nonsmooth).pdf yang dilampirkan, tetapi teksnya tidak dapat dibaca/dicari dalam alat ini, sehingga ringkasan di bawah ini didasarkan pada teori standar dan sumber literatur yang disediakan.

1. Ide Dasar Analisis Nonsmooth

• Kalkulus klasik bekerja baik untuk fungsi mulus, tetapi banyak fungsi penting bersifat nonsmooth, seperti:

  • f(x)=|x|
  • f(x)=max_i f_i(x)
  • fungsi jarak
  • fungsi nilai dalam optimasi/kontrol
  • fungsi kerugian piecewise-linear seperti ReLU

• Alih-alih mencari satu turunan, analisis nonsmooth mencari sekumpulan turunan umum.

• Untuk fungsi Lipschitz lokal f: R^n -> R, Clarke memperkenalkan turunan berarah umum dan gradien umum sebagai alat untuk optimasi nonsmooth.

2. Turunan Berarah Umum Clarke

Untuk f Lipschitz lokal, turunan berarah Clarke di x dalam arah v biasanya ditulis sebagai:

f°(x; v) = limsup_{y -> x, t ↓ 0} [f(y + t v) - f(y)] / t.

Poin penting:

• Dirancang untuk fungsi nonsmooth Lipschitz lokal.
• Homogen positif dan subaditif dalam v dalam teori Clarke standar.
• Biasanya lebih besar dari atau sama dengan turunan berarah biasa jika keduanya dipertimbangkan dalam kondisi yang sebanding.
• Menangkap pertumbuhan arah lokal terburuk di dekat x.

3. Subdiferensial Clarke

Subdiferensial Clarke umumnya didefinisikan sebagai:

∂C f(x) = { ξ dalam R^n: f°(x; v) >= <ξ, v> untuk semua v dalam R^n }.

Deskripsi standar lain yang setara untuk f Lipschitz lokal adalah bahwa subdiferensial Clarke adalah kulit konveks dari limit gradien klasik di titik-titik di mana fungsi terdiferensialkan.

∂C f(x) = co { limit dari ∇f(x_k): x_k -> x, f terdiferensialkan di x_k }.

Di sini co berarti kulit konveks.

Properti utama:

• ∂C f(x) adalah turunan umum bernilai himpunan untuk fungsi Lipschitz lokal.
• Dalam teori Clarke berdimensi-hingga standar, ∂C f(x) tidak kosong, kompak, dan konveks untuk f Lipschitz lokal.
• Jika f terdiferensialkan secara kontinu di dekat x, maka subdiferensial Clarke tereduksi menjadi gradien biasa.

∂C f(x) = {∇f(x)}.

• Jika f konveks, subdiferensial Clarke sesuai dengan subdiferensial analisis konveks biasa dalam kondisi standar.

Contoh:

f(x) = |x|.

Maka

∂C f(x) =
  {-1},        x < 0
  [-1, 1],     x = 0
  {1},         x > 0.

Ini adalah contoh dasar standar yang menunjukkan bagaimana sebuah sudut diwakili oleh seluruh interval kemiringan yang mungkin.

4. Aturan Kalkulus untuk Subdiferensial Clarke

Misalkan f, g: R^n -> R adalah Lipschitz lokal di dekat x; aturan kalkulus Clarke adalah bagian sentral dari teori optimasi nonsmooth.

Aturan Jumlah

∂C(f + g)(x) ⊂ ∂C f(x) + ∂C g(x).

Dalam kondisi keteraturan tambahan tertentu, kesetaraan dapat berlaku.

Perkalian Skalar

Untuk skalar a,

∂C(a f)(x) = a ∂C f(x).

Jika a < 0, himpunannya direfleksikan.

Aturan Hasil Kali

∂C(fg)(x) ⊂ f(x) ∂C g(x) + g(x) ∂C f(x).

Ini adalah salah satu aturan kalkulus tipe inklusi standar dalam kalkulus subdiferensial Clarke.

Aturan Hasil Bagi

Jika g(x) ≠ 0 dan g terbatas menjauhi nol di dekat x, aturan hasil bagi standar memiliki bentuk:

∂C(f/g)(x) ⊂ [g(x) ∂C f(x) - f(x) ∂C g(x)] / g(x)^2.

Aturan Rantai

Jika F: R^n -> R^m terdiferensialkan secara ketat di x dan φ: R^m -> R adalah Lipschitz lokal di dekat F(x), aturan rantai Clarke biasanya dinyatakan sebagai inklusi dari tipe berikut:

∂C(φ ∘ F)(x) ⊂ DF(x)^T ∂C φ(F(x)).

Jika φ regular dalam pengertian Clarke, bentuk yang lebih kuat tersedia.

Aturan Maksimum

Jika

f(x) = max { f1(x),..., fm(x) },

di mana setiap fi adalah Lipschitz lokal, tentukan himpunan indeks aktif

I(x) = { i: fi(x) = f(x) }.

Maka aturan maksimum Clarke standar memberikan inklusi bentuk berikut:

∂C f(x) ⊂ co ⋃_{i dalam I(x)} ∂C fi(x).

Jika fi mulus, ini menjadi:

∂C f(x) ⊂ co { ∇fi(x): i dalam I(x) }.

Untuk banyak fungsi maksimum standar, kesetaraan berlaku dalam asumsi keteraturan yang sesuai.

Aturan Fermat untuk Optimasi Nonsmooth

Jika x adalah peminim lokal dari f Lipschitz lokal, maka kondisi Fermat nonsmooth adalah:

0 ∈ ∂C f(x).

Ini adalah analog nonsmooth dari ∇f(x)=0.

5. Makalah dan Buku Klasik

• Karya F. H. Clarke tentang gradien umum adalah sumber fondasional untuk turunan umum Clarke dalam analisis nonsmooth.

• Turunan berarah umum dan gradien umum Clarke dibahas dalam literatur optimasi nonsmooth berdimensi-hingga, termasuk karya Hiriart-Urruty.

• Karya Rockafellar tentang subgradien umum dalam pemrograman matematika adalah jalur fondasional lainnya; makalah yang dikutip menguraikan dasar-dasar turunan berarah umum dan subgradien.

• Karya Hiriart-Urruty dalam dimensi-hingga membahas turunan berarah Clarke, gradien umum Clarke, aturan kalkulus, dan aplikasi untuk optimasi nonsmooth.

6. Arah Penelitian Terkini

• Penelitian optimasi nonsmooth terbaru terus menggunakan objek tipe Clarke dan relaksasi terkait; misalnya, sebuah makalah tahun 2025 mempelajari kecepatan konvergensi menggunakan subdiferensial Goldstein, yang digambarkan sebagai versi relaksasi dari subdiferensial Clarke yang digunakan dalam beberapa algoritma.

• Turunan berarah umum Clarke terus muncul dalam kondisi optimalitas untuk masalah optimasi himpunan; sebuah makalah tahun 2025 mempelajari solusi minimal lemah aproksimasi menggunakan turunan umum tipe Clarke baru.

• Publikasi Rockafellar baru-baru ini menunjukkan kelanjutan pekerjaan dalam analisis bernilai himpunan dan nonsmooth, termasuk karya tahun 2025 yang terkait dengan kalkulus variasi.

7. Jalur Membaca yang Baik

1. Mulai dengan turunan berarah umum dan subdiferensial Clarke.
2. Pelajari aturan kalkulus inti: jumlah, hasil kali, rantai, maksimum, dan aturan Fermat.
3. Pelajari subdiferensial konveks dan bandingkan dengan subdiferensial Clarke.
4. Lanjutkan ke analisis variasi: kerucut normal, kodiferensial, dan kerangka diferensiasi umum yang lebih luas.
5. Baca makalah optimasi terbaru yang menggunakan subdiferensial Clarke atau Goldstein dalam algoritma.

Daftar bacaan pertama yang praktis:

• Karya Clarke tentang gradien umum dan turunan umum Clarke.
• Karya Hiriart-Urruty tentang turunan umum dan optimasi nonsmooth.
• “Generalized Subgradients in Mathematical Programming” oleh Rockafellar.
• Makalah terbaru menggunakan subdiferensial tipe Goldstein atau Clarke dalam algoritma optimasi nonsmooth dan kondisi optimalitas.

Saya telah mencoba memeriksa file getPDF.jsp(nonsmooth).pdf yang dilampirkan, tetapi teksnya tidak dapat dibaca/dicari dalam alat ini, sehingga ringkasan di bawah ini didasarkan pada teori standar dan sumber literatur yang disediakan.

1. Ide Dasar Analisis Nonsmooth

• Kalkulus klasik bekerja baik untuk fungsi mulus, tetapi banyak fungsi penting bersifat nonsmooth, seperti:

  • f(x)=|x|
  • f(x)=max_i f_i(x)
  • fungsi jarak
  • fungsi nilai dalam optimasi/kontrol
  • fungsi kerugian piecewise-linear seperti ReLU

• Alih-alih mencari satu turunan, analisis nonsmooth mencari sekumpulan turunan umum.

• Untuk fungsi Lipschitz lokal f: R^n -> R, Clarke memperkenalkan turunan berarah umum dan gradien umum sebagai alat untuk optimasi nonsmooth.

2. Turunan Berarah Umum Clarke

Untuk f Lipschitz lokal, turunan berarah Clarke di x dalam arah v biasanya ditulis sebagai:

f°(x; v) = limsup_{y -> x, t ↓ 0} [f(y + t v) - f(y)] / t.

Poin penting:

• Dirancang untuk fungsi nonsmooth Lipschitz lokal.
• Homogen positif dan subaditif dalam v dalam teori Clarke standar.
• Biasanya lebih besar dari atau sama dengan turunan berarah biasa jika keduanya dipertimbangkan dalam kondisi yang sebanding.
• Menangkap pertumbuhan arah lokal terburuk di dekat x.

3. Subdiferensial Clarke

Subdiferensial Clarke umumnya didefinisikan sebagai:

∂C f(x) = { ξ dalam R^n: f°(x; v) >= <ξ, v> untuk semua v dalam R^n }.

Deskripsi standar lain yang setara untuk f Lipschitz lokal adalah bahwa subdiferensial Clarke adalah kulit konveks dari limit gradien klasik di titik-titik di mana fungsi terdiferensialkan.

∂C f(x) = co { limit dari ∇f(x_k): x_k -> x, f terdiferensialkan di x_k }.

Di sini co berarti kulit konveks.

Properti utama:

• ∂C f(x) adalah turunan umum bernilai himpunan untuk fungsi Lipschitz lokal.
• Dalam teori Clarke berdimensi-hingga standar, ∂C f(x) tidak kosong, kompak, dan konveks untuk f Lipschitz lokal.
• Jika f terdiferensialkan secara kontinu di dekat x, maka subdiferensial Clarke tereduksi menjadi gradien biasa.

∂C f(x) = {∇f(x)}.

• Jika f konveks, subdiferensial Clarke sesuai dengan subdiferensial analisis konveks biasa dalam kondisi standar.

Contoh:

f(x) = |x|.

Maka

∂C f(x) =
  {-1},        x < 0
  [-1, 1],     x = 0
  {1},         x > 0.

Ini adalah contoh dasar standar yang menunjukkan bagaimana sebuah sudut diwakili oleh seluruh interval kemiringan yang mungkin.

4. Aturan Kalkulus untuk Subdiferensial Clarke

Misalkan f, g: R^n -> R adalah Lipschitz lokal di dekat x; aturan kalkulus Clarke adalah bagian sentral dari teori optimasi nonsmooth.

Aturan Jumlah

∂C(f + g)(x) ⊂ ∂C f(x) + ∂C g(x).

Dalam kondisi keteraturan tambahan tertentu, kesetaraan dapat berlaku.

Perkalian Skalar

Untuk skalar a,

∂C(a f)(x) = a ∂C f(x).

Jika a < 0, himpunannya direfleksikan.

Aturan Hasil Kali

∂C(fg)(x) ⊂ f(x) ∂C g(x) + g(x) ∂C f(x).

Ini adalah salah satu aturan kalkulus tipe inklusi standar dalam kalkulus subdiferensial Clarke.

Aturan Hasil Bagi

Jika g(x) ≠ 0 dan g terbatas menjauhi nol di dekat x, aturan hasil bagi standar memiliki bentuk:

∂C(f/g)(x) ⊂ [g(x) ∂C f(x) - f(x) ∂C g(x)] / g(x)^2.

Aturan Rantai

Jika F: R^n -> R^m terdiferensialkan secara ketat di x dan φ: R^m -> R adalah Lipschitz lokal di dekat F(x), aturan rantai Clarke biasanya dinyatakan sebagai inklusi dari tipe berikut:

∂C(φ ∘ F)(x) ⊂ DF(x)^T ∂C φ(F(x)).

Jika φ regular dalam pengertian Clarke, bentuk yang lebih kuat tersedia.

Aturan Maksimum

Jika

f(x) = max { f1(x),..., fm(x) },

di mana setiap fi adalah Lipschitz lokal, tentukan himpunan indeks aktif

I(x) = { i: fi(x) = f(x) }.

Maka aturan maksimum Clarke standar memberikan inklusi bentuk berikut:

∂C f(x) ⊂ co ⋃_{i dalam I(x)} ∂C fi(x).

Jika fi mulus, ini menjadi:

∂C f(x) ⊂ co { ∇fi(x): i dalam I(x) }.

Untuk banyak fungsi maksimum standar, kesetaraan berlaku dalam asumsi keteraturan yang sesuai.

Aturan Fermat untuk Optimasi Nonsmooth

Jika x adalah peminim lokal dari f Lipschitz lokal, maka kondisi Fermat nonsmooth adalah:

0 ∈ ∂C f(x).

Ini adalah analog nonsmooth dari ∇f(x)=0.

5. Makalah dan Buku Klasik

• Karya F. H. Clarke tentang gradien umum adalah sumber fondasional untuk turunan umum Clarke dalam analisis nonsmooth.

• Turunan berarah umum dan gradien umum Clarke dibahas dalam literatur optimasi nonsmooth berdimensi-hingga, termasuk karya Hiriart-Urruty.

• Karya Rockafellar tentang subgradien umum dalam pemrograman matematika adalah jalur fondasional lainnya; makalah yang dikutip menguraikan dasar-dasar turunan berarah umum dan subgradien.

• Karya Hiriart-Urruty dalam dimensi-hingga membahas turunan berarah Clarke, gradien umum Clarke, aturan kalkulus, dan aplikasi untuk optimasi nonsmooth.

6. Arah Penelitian Terkini

• Penelitian optimasi nonsmooth terbaru terus menggunakan objek tipe Clarke dan relaksasi terkait; misalnya, sebuah makalah tahun 2025 mempelajari kecepatan konvergensi menggunakan subdiferensial Goldstein, yang digambarkan sebagai versi relaksasi dari subdiferensial Clarke yang digunakan dalam beberapa algoritma.

• Turunan berarah umum Clarke terus muncul dalam kondisi optimalitas untuk masalah optimasi himpunan; sebuah makalah tahun 2025 mempelajari solusi minimal lemah aproksimasi menggunakan turunan umum tipe Clarke baru.

• Publikasi Rockafellar baru-baru ini menunjukkan kelanjutan pekerjaan dalam analisis bernilai himpunan dan nonsmooth, termasuk karya tahun 2025 yang terkait dengan kalkulus variasi.

7. Jalur Membaca yang Baik

1. Mulai dengan turunan berarah umum dan subdiferensial Clarke.
2. Pelajari aturan kalkulus inti: jumlah, hasil kali, rantai, maksimum, dan aturan Fermat.
3. Pelajari subdiferensial konveks dan bandingkan dengan subdiferensial Clarke.
4. Lanjutkan ke analisis variasi: kerucut normal, kodiferensial, dan kerangka diferensiasi umum yang lebih luas.
5. Baca makalah optimasi terbaru yang menggunakan subdiferensial Clarke atau Goldstein dalam algoritma.

Daftar bacaan pertama yang praktis:

• Karya Clarke tentang gradien umum dan turunan umum Clarke.
• Karya Hiriart-Urruty tentang turunan umum dan optimasi nonsmooth.
• “Generalized Subgradients in Mathematical Programming” oleh Rockafellar.
• Makalah terbaru menggunakan subdiferensial tipe Goldstein atau Clarke dalam algoritma optimasi nonsmooth dan kondisi optimalitas.