AI बनाम AI: क्या Astra और Claude Fable ने दशकों पुरानी गणितीय समस्याएं सुलझा दीं?

Jacobian conjecture को Ott-Heinrich Keller ने 1939 में प्रस्तुत किया था। यह बीजगणितीय ज्यामिति की एक प्रसिद्ध खुली समस्या है और Fields Medal विजेता Stephen Smale की 21वीं सदी की समस्याओं की सूची में 16वें स्थान पर है । सरल शब्दों में, सवाल यह था: यदि (\mathbb{C}^3) से (\mathbb{C}^3) तक जाने वाले किसी बहुपद मानचित्र का Jacobian determinant हर जगह एक गैर-शून्य स्थिरांक हो, तो क्या वह मानचित्र पूरे क्षेत्र में उलटा भी होगा?

87 वर्षों तक गणितज्ञों को इसका न तो प्रमाण मिला था और न ही कोई ऐसा प्रति-उदाहरण, जो conjecture को गलत साबित कर सके। Alpöge ने Anthropic के Claude Fable 5 के साथ मिलकर ऐसा मानचित्र खोजने का दावा किया। मानचित्र (F=(P,Q,R):\mathbb{C}^3\to\mathbb{C}^3) का Jacobian determinant लगातार −2 रहता है, लेकिन वह तीन अलग-अलग इनपुट को एक ही आउटपुट में भेजता है। इसका अर्थ है कि मानचित्र globally invertible नहीं है और यह conjecture का सीधा खंडन करता है ।

इस परिणाम को Lean 4 में औपचारिक रूप दिया गया और Imperial College London के Kevin Buzzard सहित गणितज्ञों ने इसे एक दिन के भीतर जांचा । कई विशेषज्ञों ने इसे AI की मदद से हल की गई अब तक की सबसे कठिन गणितीय समस्या बताया ।

OpenAI Astra का दावा: 10 समस्याएं, लगभग $2,000

1 अगस्त 2026 को OpenAI ने एक शोध पोस्ट में बताया कि उसके अगले प्रमुख मॉडल परिवार के आंतरिक संस्करण Astra ने 10 खुली समस्याओं पर नए परिणाम तैयार किए। कंपनी के अनुसार, इन समस्याओं पर कम-से-कम एक दशक से मुख्य परिणाम की दिशा में बहुत कम या कोई प्रगति नहीं हुई थी ।

OpenAI ने 249 पृष्ठों की पांडुलिपि, मॉडल द्वारा तैयार तर्क-विवरण और GitHub पर Lean 4 के मशीन-जांच योग्य प्रमाण जारी किए । कंपनी ने कहा कि सभी 10 परिणाम तैयार करने के लिए आवश्यक टोकन की लागत API दरों पर लगभग $2,000 थी ।

Astra से जुड़े बताए गए 10 परिणाम

• Non-sofic group: समूह सिद्धांत में पहली स्पष्ट non-sofic group संरचना; यह सवाल Mikhail Gromov द्वारा soficity की अवधारणा प्रस्तुत किए जाने के बाद 1999 से खुला था ।
• Permanent के circuit lower bounds: सर्किट जटिलता में नए lower bounds ।
• उच्च-आयामी sphere packing: sphere-packing density की ऊपरी सीमाओं में नया परिणाम, जो Cohn–Elkies threshold तक पहुंचता है ।
• Binary और spherical codes: पारंपरिक upper bounds में घातांकीय सुधार ।
• Operator algebras: समूह von Neumann algebras से जुड़ी Connes rigidity conjecture का प्रति-उदाहरण ।
• Quantum parallel repetition: सभी entangled games के लिए quantum parallel repetition पर परिणाम ।
• Lattice cryptography: closest vector problem से जुड़ा नया परिणाम ।
• Extremal combinatorics: Erdős problems #146, #180 और #183 का समाधान ।
• उच्च-आयामी ज्यामिति: एक नई ज्यामितीय संरचना ।
• Ehrhart conjecture: lattice point enumeration से जुड़ी conjecture का समाधान ।

GitHub repository में “sorry” की संख्या शून्य बताई गई। Lean में “sorry” का इस्तेमाल ऐसे चरणों के लिए होता है जिन्हें अभी औपचारिक रूप से सिद्ध नहीं किया गया हो। इसलिए शून्य count का अर्थ है कि जारी किए गए औपचारिक प्रमाणों में कोई अपूर्ण चरण नहीं छोड़ा गया था ।

Anthropic का जवाब: Claude Fable ने 5 परिणाम दोहराए?

OpenAI की घोषणा के 24 घंटे के भीतर Anthropic के शोधकर्ता Levent Alpöge ने X पर कहा कि उन्होंने सार्वजनिक रूप से उपलब्ध Claude Fable का इस्तेमाल करके उन्हीं 10 समस्याओं में से 5 को स्वतंत्र रूप से हल किया । यह कोई अप्रकाशित या विशेष आंतरिक मॉडल नहीं था।

Alpöge के अनुसार:

• Claude Fable को सामान्य प्रॉम्प्ट दिए गए और इंटरनेट का उपयोग नहीं करने दिया गया ।
• ऐसे सुरक्षा उपाय किए गए कि मॉडल OpenAI के प्रकाशित समाधानों को संदर्भ के रूप में देख न सके ।
• मॉडल ने कुछ ही घंटों में परिणाम तैयार किए ।
• बताए गए क्षेत्रों में arithmetic circuit complexity, quantum parallel repetition, lattice cryptography और closest vector problem शामिल थे ।
• पांच में से केवल एक समाधान में मूलतः वही तर्क इस्तेमाल हुआ; बाकी चार के तर्क स्वतंत्र हो सकते हैं ।

Alpöge ने यह दावा नहीं किया कि Fable ने सभी 10 समस्याएं हल कर दीं। उनका दावा केवल इतना था कि सार्वजनिक मॉडल ने न्यूनतम मानवीय मार्गदर्शन में 5 परिणाम स्वतंत्र रूप से दोहराए । इससे OpenAI की यह छवि चुनौती में आई कि Astra ही इन उपलब्धियों के लिए विशिष्ट रूप से सक्षम मॉडल है ।

AI प्रतिस्पर्धा में लागत क्यों महत्वपूर्ण है?

OpenAI का लगभग $2,000 का आंकड़ा AI प्रतिस्पर्धा में एक नए पैमाने की ओर संकेत करता है: केवल मॉडल की क्षमता नहीं, बल्कि वैज्ञानिक परिणाम तैयार करने की लागत भी महत्वपूर्ण होगी । यदि AI किसी वास्तविक गणितीय परिणाम को लगभग $200 प्रति समस्या की औसत लागत पर तैयार कर सके, तो शोध की सबसे बड़ी बाधा खोज नहीं, बल्कि प्रमाणों का सत्यापन, उनका अर्थ समझना और उन्हें उपयोगी सिद्धांत में बदलना हो सकती है।

फिर भी यह आंकड़ा पूरे शोध-कार्य की कुल लागत नहीं बताता। इसमें समस्या चुनने, प्रॉम्प्ट तैयार करने, मॉडल के आउटपुट को समझने, पांडुलिपि लिखने, औपचारिक प्रमाण बनाने और विशेषज्ञों द्वारा जांच करने का मानवीय समय अलग हो सकता है। इसलिए $2,000 को मुख्यतः OpenAI द्वारा बताई गई मॉडल-टोकन लागत के रूप में देखना चाहिए ।

Lean प्रमाण और सहकर्मी समीक्षा का भविष्य

Jacobian conjecture और Astra से जुड़े परिणामों में Lean 4 की भूमिका विशेष रूप से महत्वपूर्ण है । Lean एक proof assistant है, जो गणितीय तर्क के प्रत्येक चरण को मशीन-पठनीय रूप में दर्ज कर उसकी जांच करता है। इससे शोधकर्ता किसी कंपनी या मॉडल की प्रतिष्ठा पर निर्भर रहने के बजाय प्रमाण की औपचारिक संरचना को स्वयं जांच सकते हैं।

इसका मतलब यह नहीं कि पारंपरिक सहकर्मी समीक्षा तुरंत अप्रासंगिक हो जाएगी। मशीन यह जांच सकती है कि औपचारिक रूप से लिखा गया तर्क नियमों के अनुरूप है, लेकिन मनुष्य को अब भी यह समझना होगा कि परिणाम महत्वपूर्ण क्यों है, उसकी सीमाएं क्या हैं और वह पहले के गणित से कैसे जुड़ता है। फिर भी कुछ प्रकार के परिणामों के लिए Lean certificate भविष्य में भरोसे की एक प्रमुख कसौटी बन सकता है ।

लेखक कौन है—गणितज्ञ, AI या कंपनी?

इन घटनाओं ने अकादमिक लेखन में लेखकीय अधिकार को लेकर भी सवाल खड़े किए हैं। यदि किसी गणितज्ञ ने समस्या चुनी और AI ने उपयोगी निर्माण या तर्क खोजा, तो लेखक किसे माना जाए—मानव शोधकर्ता को, मॉडल को या उस कंपनी को जिसने मॉडल बनाया?

Alpöge ने Jacobian conjecture से जुड़े परिणाम को साझा करते समय एक मानव सहयोगी और Claude Fable 5 दोनों को श्रेय दिया । लेकिन अकादमिक जर्नलों में AI को सह-लेखक मानने की कोई सार्वभौमिक नीति नहीं है। यह परिणाम सोशल मीडिया और GitHub के माध्यम से तेजी से सामने आया, जबकि पारंपरिक औपचारिक प्रकाशन और सहकर्मी समीक्षा बाद की प्रक्रिया हो सकती है ।

अभी क्या स्पष्ट नहीं है?

सार्वजनिक रिपोर्टों में अब तक यह पूरी तरह स्पष्ट नहीं किया गया है कि Claude Fable ने Astra की बताई गई 10 समस्याओं में से कौन-सी 5 समस्याएं दोहराईं । रिपोर्टों में arithmetic circuit complexity, quantum parallel repetition और lattice cryptography जैसे क्षेत्र बताए गए हैं, लेकिन हर समस्या के साथ Fable के परिणाम का सटीक मिलान अभी पुष्ट नहीं है ।

इसलिए Astra और Fable दोनों के दावों को फिलहाल OpenAI और Alpöge द्वारा घोषित शोध-परिणामों के रूप में देखना उचित है। Lean में औपचारिक रूप से जांचे गए प्रमाण मजबूत मशीन-जांच योग्य आधार देते हैं, लेकिन व्यापक गणितीय समुदाय द्वारा स्वतंत्र मूल्यांकन और औपचारिक सहकर्मी समीक्षा अभी भी महत्वपूर्ण हैं ।

गणितज्ञों ने इस बदलाव की गति को “बहुत तेज और विचलित करने वाली” बताया है । असली बदलाव शायद यह नहीं है कि AI ने गणितज्ञों की जगह ले ली है, बल्कि यह कि अब गणितीय खोज, प्रमाण और सत्यापन की पूरी प्रक्रिया पहले से कहीं अधिक तेज—और कहीं अधिक सार्वजनिक—हो सकती है।