Erdős Unit Distance Problem क्या है?

समस्या क्या पूछती है?

डिस्क्रीट ज्यामिति (discrete geometry) में Erdős unit distance problem एक प्रसिद्ध खुली समस्या है। इसमें पूछा जाता है:

यदि समतल (Euclidean plane) में (n) बिंदु दिए हों, तो उनमें से अधिकतम कितनी जोड़ी ऐसी हो सकती है जिनकी दूरी बिल्कुल 1 इकाई हो?

दूसरे शब्दों में, हम यह जानना चाहते हैं कि (n) बिंदुओं के किसी भी विन्यास में unit distance pairs की अधिकतम संभव संख्या कितनी हो सकती है।

एर्डोश का अनुमान

1946 में प्रसिद्ध गणितज्ञ Paul Erdős ने अनुमान लगाया कि यह संख्या लगभग रैखिक होगी। उनका अनुमान था कि अधिकतम संख्या लगभग

[
n^{1+o(1)}
]

के क्रम की होगी। यह अनुमान उन उदाहरणों से प्रेरित था जहाँ बिंदुओं को integer lattice (ग्रिड) पर रखा जाता है, जिससे बड़ी संख्या में यूनिट दूरी वाली जोड़ियाँ बनती हैं।

उदाहरण के लिए, यदि बिंदुओं को (\sqrt{n} \times \sqrt{n}) वाले वर्गीय ग्रिड पर रखा जाए, तो क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशा में बहुत‑सी जोड़ियाँ ठीक 1 दूरी पर मिलती हैं।

वर्तमान में ज्ञात सीमा (Bounds)

आज तक शोधकर्ताओं ने इस समस्या के लिए कुछ सीमाएँ (bounds) स्थापित की हैं, लेकिन एर्डोश का पूरा अनुमान सिद्ध नहीं हो पाया है।