מרוץ ה-AI למתמטיקה: Astra של OpenAI פתרה 10 בעיות — ו-Claude Fable השיג מחצית מהן

השערת יעקוביאן הוצגה לראשונה ב-1939 בידי אוטו-היינריך קלר. היא נחשבת לבעיה פתוחה מרכזית באלגברה גאומטרית, ואף דורגה במקום ה-16 ברשימת הבעיות למאה ה-21 של זוכה מדליית פילדס סטיבן סמייל . בפשטות, היא שואלת אם פונקציה פולינומית מ-ℂ³ ל-ℂ³, שהדטרמיננטה היעקוביאנית שלה היא קבועה ושונה מאפס בכל מקום, חייבת להיות הפיכה בכל התחום.

במשך 87 שנים לא נמצא לא הוכחה להשערה ולא דוגמה נגדית. אלפוגה, בעבודה משותפת עם Claude Fable 5, הציג פונקציה פולינומית (F=(P,Q,R):\mathbb{C}^3\to\mathbb{C}^3) שהדטרמיננטה היעקוביאנית שלה קבועה ושווה ל-‎−2, אך שלוש נקודות קלט שונות נשלחות לאותו פלט. בכך היא מפרה ישירות את תנאי ההפיכות של ההשערה .

התוצאה נכתבה באופן פורמלי ב-Lean 4 ונבדקה בתוך יום בידי מתמטיקאים, ובהם קווין באזארד מאימפריאל קולג' בלונדון . פרשנים תיארו אותה כבעיה המתמטית הקשה ביותר שנפתרה עד כה בעזרת AI . עם זאת, חשוב לדייק: מדובר בתוצאה של מתמטיקאי שעבד עם מודל, ולא במודל שפעל לבדו ללא הכוונה אנושית.

Astra: 10 תוצאות חדשות בכ-2,000 דולר

ב-1 באוגוסט פרסמה OpenAI מאמר מחקר שבו נטען כי גרסה פנימית של Astra, שהחברה מתארת כ"המודל הגדול הבא שלה", הפיקה תוצאות חדשות עבור 10 בעיות פתוחות במתמטיקה ובמדעי המחשב התאורטיים. לפי החברה, בכל אחת מהבעיות לא נרשמה התקדמות משמעותית בתוצאה המרכזית במשך עשור לפחות, וברוב המקרים אף זמן רב יותר .

OpenAI העלתה את ההוכחות ל-GitHub, בצירוף אישורים הניתנים לבדיקה באמצעות Lean 4. לפי חישוב המבוסס על תעריפי API, עלות החישוב ליצירת כל 10 הפתרונות הייתה כ-2,000 דולר .

אלה הבעיות וההישגים ש-OpenAI ייחסה ל-Astra:

• חבורות לא-סופיות (תורת החבורות): הבנייה המפורשת הראשונה של חבורה לא-סופית — שאלה שנותרה פתוחה מאז שמיכאיל גרומוב הציג את מושג הסופיות ב-1999 .
• חסם תחתון למעגלים עבור הפרמננטה: תוצאה בתחום סיבוכיות המעגלים .
• אריזת כדורים בממדים גבוהים: חסמים עליונים חדשים לצפיפות האריזה, עד לסף קון–אלקיס .
• קודים בינאריים וכדוריים: שיפור מעריכי לחסמים עליונים קלאסיים .
• אלגברות אופרטורים: דוגמה נגדית להשערת הקשיחות של קונס בתחום אלגברות פון נוימן של חבורות .
• חזרה מקבילית קוונטית: תוצאה עבור חזרה מקבילית קוונטית בכל המשחקים השזורים .
• קריפטוגרפיה מבוססת סריגים: תוצאה חדשה הקשורה לבעיית הווקטור הקרוב ביותר .
• קומבינטוריקה קיצונית: פתרון של בעיות ארדש 146, 180 ו-183 .
• גאומטריה בממדים גבוהים: בנייה גאומטרית חדשה .
• השערת ארהרט: פתרון הנוגע לספירת נקודות בסריג .

החברה פרסמה כתב יד כולל באורך 249 עמודים, הסברים שנכתבו בידי המודל ואישורי Lean 4 לכל התוצאות הפורמליות. במאגר הקוד הופיע מספר "sorry" השווה לאפס — סימון שמשמעותו שכל שלב שנכלל בהוכחות הפורמליות נבדק באופן מלא על ידי המערכת .

התגובה של Anthropic: Fable פתר חמש מתוך עשר

בתוך 24 שעות מההכרזה של OpenAI, אלפוגה טען ב-X כי השתמש ב-Claude Fable הזמין לציבור — ולא במודל שטרם הושק — כדי לפתור באופן עצמאי חמש מתוך אותן 10 בעיות .

לדבריו, הניסוי התבסס על הנחיות כלליות, ללא גישה לאינטרנט, ובאמצעי הגנה שנועדו למנוע מהמודל להיחשף לפתרונות של OpenAI . אלפוגה טען כי Fable הפיק את התוצאות באופן אוטונומי בתוך שעות .

הבעיות שיוחסו לניסוי נגעו, בין היתר, לסיבוכיות מעגלים אריתמטית, לחזרה מקבילית קוונטית, לקריפטוגרפיה מבוססת סריגים ולבעיית הווקטור הקרוב ביותר . לפי הטענה, רק אחד מחמשת הפתרונות השתמש למעשה באותו רעיון מרכזי; ארבעת האחרים עשויים להיות הוכחות בלתי תלויות .

אלפוגה לא טען ש-Fable פתר את כל 10 הבעיות. טענתו הייתה מצומצמת יותר: מודל שכבר זמין לציבור הצליח לשחזר באופן עצמאי מחצית מהתוצאות, בעזרת הכוונה אנושית מינימלית . בכך הוא ביקש לערער על הצגת Astra כמודל בעל יכולת ייחודית לחלוטין .

למה זה חשוב למרוץ ה-AI?

העלות הופכת למדד תחרותי. הסכום של כ-2,000 דולר שהציגה OpenAI ממקם את יעילות החישוב לצד איכות התוצאה כמדד מרכזי בתחרות בין מודלים . אם מערכות AI יוכלו לייצר תוצאות מתמטיות מקוריות בעלות נמוכה יחסית, צוואר הבקבוק עשוי לעבור מגילוי הפתרון לבדיקתו, להבנתו ולהערכת החשיבות שלו.

הוכחות הניתנות לבדיקה במחשב מקבלות משקל רב יותר. גם הדוגמה הנגדית להשערת יעקוביאן וגם תוצאות Astra נוסחו באופן פורמלי ב-Lean 4 . העובדה שניתן לבדוק את הטענות בתוך שעות או ימים, במקום להמתין שנים לתהליך ביקורת עמיתים מלא, מצביעה על האפשרות שאישורים פורמליים יהפכו לכלי מרכזי — ובתחומים מסוימים אולי אף לתנאי מקדים — לפרסום תוצאות מתמטיות .

מי נחשב למחבר? ההישג סביב השערת יעקוביאן העלה שאלה אקדמית לא פשוטה: מי המחבר של תוצאה שנולדה בשיתוף פעולה בין מתמטיקאי למודל — החוקר שהגדיר את הבעיה והנחה את המערכת, המודל עצמו, או החברה שפיתחה אותו? אלפוגה העניק קרדיט גם לעמית אנושי וגם ל-Claude Fable 5 .

לכתבי עת אקדמיים עדיין אין מדיניות אחידה לגבי קרדיט או מחברוּת של מערכות AI. במקרה הזה, התוצאה הופצה בעיקר באמצעות רשתות חברתיות ו-GitHub, ולא דרך מסלול הפרסום האקדמי המסורתי .

מה עדיין לא ברור?

הטענות של שתי החברות והחוקרים טרם השלימו ביקורת עמיתים פורמלית. אישורי Lean מספקים שכבת ביטחון חזקה משום שהם מאפשרים בדיקה מכנית של שלבי ההוכחה, אך הם אינם מחליפים לבדם את הדיון האנושי בשאלה אם ניסוח הבעיה, ההנחות והמשמעות של התוצאה אכן נכונים וחשובים .

בנוסף, הרשימה המדויקת של חמש הבעיות ש-Claude Fable הצליח לשחזר עדיין לא פורסמה במלואה. הדיווחים מציינים סיבוכיות מעגלים אריתמטית, חזרה מקבילית קוונטית וקריפטוגרפיה מבוססת סריגים, אך המיפוי המדויק בין חמש התוצאות לבין עשר הבעיות של Astra נותר לא מאומת .

לכן, הסיפור כרגע הוא פחות הכרעה סופית בשאלה איזו חברה "ניצחה", ויותר סימן לשינוי בקצב המחקר: מודלים חדשים מתחילים להציע טענות מתמטיות שאפשר לבדוק, להשוות ולבנות עליהן — והמתמטיקאים נדרשים כעת לא רק לפתור בעיות, אלא גם לאמת במהירות את עבודתן של מערכות AI.