Claude repousse une borne vieille de 46 ans sur la fonction zêta de Riemann : que s'est-il passé ?

Déroulement de l'expérience

Jarred Sumner, un employé d'Anthropic sans formation mathématique, a demandé à Claude de "s'attaquer sérieusement" à l'hypothèse de Riemann, en laissant tous les choix mathématiques au modèle .

• Première session : Claude a généré et testé 650 idées, sans succès. Sumner l'a encouragé à persévérer .
• Deuxième session (36 heures) : Claude a coordonné environ 60 sous-agents, exécuté 2 400 commandes shell, écrit des centaines de scripts Python et effectué des milliers de vérifications numériques sur des zéros de la fonction zêta connus. Les sous-agents ont également relu mutuellement leurs travaux .
• Rôle humain : L'intervention de Sumner s'est résumée à des encouragements — des variantes de "continue" et "crois en toi" — qui ont aidé Claude à surmonter son propre scepticisme initial quant à ses chances de progrès .
• Production : 31 millions de tokens répartis sur deux sessions . Claude a proposé de rédiger ses résultats sous forme d'article et a recommandé une validation par des experts humains .

Les techniques combinées par Claude

Claude a connecté deux axes de recherche indépendants qui n'avaient jamais été rapprochés auparavant :

• Les travaux récents (2023–2025) de Baluyot, Goldston, Suriajaya et Turnage-Butterbaugh — une série d'articles supprimant l'hypothèse de Riemann des méthodes de corrélation de paires de Montgomery, rendant ces outils utilisables sans condition .
• Un article de Bombieri (2000) — apportant des techniques complémentaires de théorie analytique des nombres .

L'idée clé de Claude a été de traiter l'espace entier des fonctions avec une forme quadratique induite par Weil, en prenant en compte simultanément les sous-espaces définis positifs et négatifs (provenant des zéros sur la droite et hors de la droite), et en autorisant la forme quadratique à être non diagonale. Cela lui a permis d'écrire une inégalité de rang utilisant des informations de premier et de second moment, aboutissant à la nouvelle borne .

La percée est venue de la connexion entre deux articles existants issus de sous-domaines différents, et non de la découverte de mathématiques entièrement nouvelles .

Vérification et réserves

• Validation interne : Les mathématiciens d'Anthropic Levent Alpöge et Ralph Furman ont étudié et confirmé l'article de Claude .
• Examen externe : Brian Conrey et Dan Goldston, deux experts de premier plan dans le domaine, ont examiné le résultat à bref délai et l'ont validé .
• Preuve formelle : Claude a travaillé avec Eric Easley, un employé d'Anthropic, pour produire une formalisation en Lean du résultat, qui passe l'outil de validation standard de Lean .
• Réserve d'Anthropic : "Nous ne pensons pas que les techniques utilisées par Claude permettront de prouver l'hypothèse de Riemann" — l'approche constitue une amélioration significative mais limitée, et non une voie vers la conjecture complète .