Conjecture jacobienne : un contre-exemple de 216 caractères trouvé par une IA bouleverse les mathématiques

Dans la nuit du 19 au 20 juillet 2026, en regardant la finale de la Coupe du Monde des clubs de la FIFA, le mathématicien Levent Alpöge — un théoricien des nombres qui travaille chez Anthropic après avoir occupé un Junior Fellowship à la Society of Fellows de Harvard — a été interrogé sur la conjecture jacobienne par un ami nommé Akhil Mathew . Alpöge a demandé au modèle Claude Fable 5 d'Anthropic de travailler sur le problème. Le modèle a renvoyé une application polynomiale concrète de 216 caractères qui satisfaisait à la condition d'avoir un déterminant jacobien constant non nul mais qui n'était pas injective, violant ainsi la conclusion de la conjecture .

Alpöge a publié le résultat sur X le 19 juillet 2026, écrivant : "hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final" .

Le contre-exemple spécifique

Le contre-exemple est une application polynomiale F: ℂ³ → ℂ³ définie explicitement comme suit :

Deux propriétés clés sont vérifiées :

• Déterminant jacobien : det Jac F = −2 (une constante non nulle), donc F est une application de Keller.
• Non-injectivité : Trois points d'entrée distincts donnent tous la même sortie (-1/4, 0, 0) :
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

Étant donné qu'une application non injective ne peut pas avoir d'inverse (polynomiale ou autre), F contredit la conjecture jacobienne. La construction fonctionne sur tout corps de caractéristique zéro, tous les coefficients et points témoins étant rationnels .

Un prépublication compagnon (datée du 20 juillet 2026) fournit une vérification algébrique complète, détermine la géométrie globale de F et prouve que l'ensemble de non-propreté de F est une hypersurface — le mécanisme par lequel l'application n'est pas un automorphisme polynomial . L'article construit en outre des familles infinies de tels contre-exemples .

Statut du cas à deux variables

La conjecture jacobienne pour n = 2 (deux variables complexes) reste un problème ouvert en juillet 2026. Le contre-exemple ne réfute la conjecture que pour les dimensions n ≥ 3 .

Statut actuel de la vérification et de l'évaluation par les pairs

Au 22 juillet 2026, les informations suivantes sont connues :

• Crédible mathématiquement : Le contre-exemple est explicite et vérifiable mécaniquement. Les mathématiciens le prennent au sérieux . Une vérification formelle dans Lean 4 a été produite et passe les builds d'intégration continue .
• Aucune publication dans une revue à comité de lecture pour l'instant : Il n'existe ni article publié dans une revue à comité de lecture ni prépublication sur arXiv selon les derniers rapports . Le matériel existe sous forme de publication sur les réseaux sociaux et d'un PDF compagnon sur ulam.ai, mais n'a pas fait l'objet d'un examen formel par une revue.
• Wikipédia a été mise à jour : L'entrée Wikipédia sur la conjecture jacobienne mentionne désormais le contre-exemple comme réfutant la conjecture pour N > 2 .
• Évaluation de la communauté : Le consensus parmi les commentateurs est que les mathématiques sont presque certainement correctes, mais l'acceptation formelle et la citation dans les archives officielles sont encore en attente à cette date . Le résultat est attribué à une collaboration humain-IA, et non à Claude agissant seul .

En résumé : La conjecture jacobienne semble être véritablement fausse en dimensions ≥ 3. Le cas à deux variables reste ouvert. Le contre-exemple est mathématiquement solide et a été vérifié de manière indépendante, mais n'a pas encore terminé le processus d'évaluation par les pairs.