Comment Levent Alpöge a utilisé Claude Fable 5

Dans la nuit du 19 au 20 juillet 2026, en regardant la finale de la Coupe du Monde des clubs de la FIFA, le mathématicien Levent Alpöge — un théoricien des nombres qui travaille chez Anthropic après avoir occupé un Junior Fellowship à la Society of Fellows de Harvard — a été interrogé sur la conjecture jacobienne par un ami nommé Akhil Mathew . Alpöge a demandé au modèle Claude Fable 5 d'Anthropic de travailler sur le problème. Le modèle a renvoyé une application polynomiale concrète de 216 caractères qui satisfaisait à la condition d'avoir un déterminant jacobien constant non nul mais qui n'était pas injective, violant ainsi la conclusion de la conjecture .

Alpöge a publié le résultat sur X le 19 juillet 2026, écrivant : "hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final" .

Le contre-exemple spécifique

Le contre-exemple est une application polynomiale F: ℂ³ → ℂ³ définie explicitement comme suit :

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

Deux propriétés clés sont vérifiées :

• Déterminant jacobien : det Jac F = −2 (une constante non nulle), donc F est une application de Keller.
• Non-injectivité : Trois points d'entrée distincts donnent tous la même sortie (-1/4, 0, 0) :
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

Étant donné qu'une application non injective ne peut pas avoir d'inverse (polynomiale ou autre), F contredit la conjecture jacobienne. La construction fonctionne sur tout corps de caractéristique zéro, tous les coefficients et points témoins étant rationnels .

Un prépublication compagnon (datée du 20 juillet 2026) fournit une vérification algébrique complète, détermine la géométrie globale de F et prouve que l'ensemble de non-propreté de F est une hypersurface — le mécanisme par lequel l'application n'est pas un automorphisme polynomial . L'article construit en outre des familles infinies de tels contre-exemples .

Statut du cas à deux variables

La conjecture jacobienne pour n = 2 (deux variables complexes) reste un problème ouvert en juillet 2026. Le contre-exemple ne réfute la conjecture que pour les dimensions n ≥ 3 .

Statut actuel de la vérification et de l'évaluation par les pairs

Au 22 juillet 2026, les informations suivantes sont connues :

• Crédible mathématiquement : Le contre-exemple est explicite et vérifiable mécaniquement. Les mathématiciens le prennent au sérieux . Une vérification formelle dans Lean 4 a été produite et passe les builds d'intégration continue .
• Aucune publication dans une revue à comité de lecture pour l'instant : Il n'existe ni article publié dans une revue à comité de lecture ni prépublication sur arXiv selon les derniers rapports . Le matériel existe sous forme de publication sur les réseaux sociaux et d'un PDF compagnon sur ulam.ai, mais n'a pas fait l'objet d'un examen formel par une revue.
• Wikipédia a été mise à jour : L'entrée Wikipédia sur la conjecture jacobienne mentionne désormais le contre-exemple comme réfutant la conjecture pour N > 2 .
• Évaluation de la communauté : Le consensus parmi les commentateurs est que les mathématiques sont presque certainement correctes, mais l'acceptation formelle et la citation dans les archives officielles sont encore en attente à cette date . Le résultat est attribué à une collaboration humain-IA, et non à Claude agissant seul .

En résumé : La conjecture jacobienne semble être véritablement fausse en dimensions ≥ 3. Le cas à deux variables reste ouvert. Le contre-exemple est mathématiquement solide et a été vérifié de manière indépendante, mais n'a pas encore terminé le processus d'évaluation par les pairs.

Comment Levent Alpöge a utilisé Claude Fable 5

Dans la nuit du 19 au 20 juillet 2026, en regardant la finale de la Coupe du Monde des clubs de la FIFA, le mathématicien Levent Alpöge — un théoricien des nombres qui travaille chez Anthropic après avoir occupé un Junior Fellowship à la Society of Fellows de Harvard — a été interrogé sur la conjecture jacobienne par un ami nommé Akhil Mathew . Alpöge a demandé au modèle Claude Fable 5 d'Anthropic de travailler sur le problème. Le modèle a renvoyé une application polynomiale concrète de 216 caractères qui satisfaisait à la condition d'avoir un déterminant jacobien constant non nul mais qui n'était pas injective, violant ainsi la conclusion de la conjecture .

Alpöge a publié le résultat sur X le 19 juillet 2026, écrivant : "hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final" .

Le contre-exemple spécifique

Le contre-exemple est une application polynomiale F: ℂ³ → ℂ³ définie explicitement comme suit :

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

Deux propriétés clés sont vérifiées :

• Déterminant jacobien : det Jac F = −2 (une constante non nulle), donc F est une application de Keller.
• Non-injectivité : Trois points d'entrée distincts donnent tous la même sortie (-1/4, 0, 0) :
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

Étant donné qu'une application non injective ne peut pas avoir d'inverse (polynomiale ou autre), F contredit la conjecture jacobienne. La construction fonctionne sur tout corps de caractéristique zéro, tous les coefficients et points témoins étant rationnels .

Un prépublication compagnon (datée du 20 juillet 2026) fournit une vérification algébrique complète, détermine la géométrie globale de F et prouve que l'ensemble de non-propreté de F est une hypersurface — le mécanisme par lequel l'application n'est pas un automorphisme polynomial . L'article construit en outre des familles infinies de tels contre-exemples .

Statut du cas à deux variables

La conjecture jacobienne pour n = 2 (deux variables complexes) reste un problème ouvert en juillet 2026. Le contre-exemple ne réfute la conjecture que pour les dimensions n ≥ 3 .

Statut actuel de la vérification et de l'évaluation par les pairs

Au 22 juillet 2026, les informations suivantes sont connues :

• Crédible mathématiquement : Le contre-exemple est explicite et vérifiable mécaniquement. Les mathématiciens le prennent au sérieux . Une vérification formelle dans Lean 4 a été produite et passe les builds d'intégration continue .
• Aucune publication dans une revue à comité de lecture pour l'instant : Il n'existe ni article publié dans une revue à comité de lecture ni prépublication sur arXiv selon les derniers rapports . Le matériel existe sous forme de publication sur les réseaux sociaux et d'un PDF compagnon sur ulam.ai, mais n'a pas fait l'objet d'un examen formel par une revue.
• Wikipédia a été mise à jour : L'entrée Wikipédia sur la conjecture jacobienne mentionne désormais le contre-exemple comme réfutant la conjecture pour N > 2 .
• Évaluation de la communauté : Le consensus parmi les commentateurs est que les mathématiques sont presque certainement correctes, mais l'acceptation formelle et la citation dans les archives officielles sont encore en attente à cette date . Le résultat est attribué à une collaboration humain-IA, et non à Claude agissant seul .

En résumé : La conjecture jacobienne semble être véritablement fausse en dimensions ≥ 3. Le cas à deux variables reste ouvert. Le contre-exemple est mathématiquement solide et a été vérifié de manière indépendante, mais n'a pas encore terminé le processus d'évaluation par les pairs.