Analyse non lisse : sous-différentiel de Clarke, règles de calcul et littérature

L'analyse non lisse étend le calcul différentiel aux fonctions qui ne sont pas classiquement différentiables, en particulier les fonctions localement lipschitziennes rencontrées en optimisation, programmation mathématique et optimisation ensembliste/vectorielle.^LSA L'objet central de la théorie de Clarke est le gradient/sous-différentiel généralisé de Clarke, qui remplace un gradient unique par un sous-ensemble de dérivées généralisées capturant le comportement limite des gradients.^EE

J'ai tenté d'inspecter le fichier joint getPDF.jsp(nonsmooth).pdf, mais son texte n'était pas lisible/recherchable dans l'outil. Le résumé ci-dessous s'appuie donc sur la théorie standard et les sources bibliographiques fournies.

1. Idée de base de l'analyse non lisse

• Le calcul différentiel classique fonctionne bien pour les fonctions lisses, mais de nombreuses fonctions importantes sont non lisses, comme :

  • f(x)=|x|
  • f(x)=max_i f_i(x)
  • les fonctions distance
  • les fonctions valeur en optimisation/contrôle
  • les fonctions de perte linéaires par morceaux de type ReLU

• Plutôt que de demander une dérivée unique, l'analyse non lisse demande un ensemble de dérivées généralisées.^EE

• Pour une fonction localement lipschitzienne f: R^n -> R, Clarke a introduit les dérivées directionnelles généralisées et les gradients généralisés comme outils pour l'optimisation non lisse.^LE

2. Dérivée directionnelle généralisée de Clarke

Pour une fonction f localement lipschitzienne, la dérivée directionnelle de Clarke au point x dans la direction v s'écrit généralement :^E

f°(x; v) = limsup_{y -> x, t ↓ 0} [f(y + t v) - f(y)] / t.

Points clés :

• Elle est conçue pour les fonctions non lisses localement lipschitziennes.^EE
• Selon la théorie standard de Clarke, elle est positivement homogène et sous-additive en v.^LE
• Elle est généralement plus grande ou égale à la dérivée directionnelle ordinaire dans des contextes comparables.^E
• Elle capture la croissance directionnelle locale la plus défavorable près de x.^EE

3. Sous-différentiel de Clarke

Le sous-différentiel de Clarke est généralement défini par :^E

∂C f(x) = { ξ in R^n : f°(x; v) >= <ξ, v> pour tout v in R^n }.

Une description standard équivalente pour f localement lipschitzienne est que le sous-différentiel de Clarke est l'enveloppe convexe des limites de gradients classiques voisins là où la fonction est différentiable.^EE

∂C f(x) = co { limites de ∇f(x_k) : x_k -> x, f différentiable en x_k }.

Ici, co désigne l'enveloppe convexe.

Propriétés clés :

• ∂C f(x) est une dérivée généralisée à valeurs ensemblistes pour les fonctions localement lipschitziennes.^EE
• Dans la théorie de Clarke en dimension finie, ∂C f(x) est non vide, compact et convexe pour f localement lipschitzienne.^EE
• Si f est continûment différentiable au voisinage de x, alors le sous-différentiel de Clarke se réduit au gradient ordinaire.^EE

∂C f(x) = {∇f(x)}.

• Si f est convexe, le sous-différentiel de Clarke coïncide avec le sous-différentiel usuel de l'analyse convexe dans des contextes standards.^LE

Exemple :

f(x) = |x|.

Alors

∂C f(x) =
  {-1},        x < 0
  [-1, 1],     x = 0
  {1},         x > 0.

C'est l'exemple de base classique montrant comment un point anguleux est représenté par tout un intervalle de pentes possibles.^EE

4. Règles de calcul pour le sous-différentiel de Clarke

Soient f, g: R^n -> R localement lipschitziennes près de x ; les règles de calcul de Clarke sont une partie centrale de la théorie de l'optimisation non lisse.^LEE

Règle de la somme

∂C(f + g)(x) ⊂ ∂C f(x) + ∂C g(x).

Sous des conditions de régularité supplémentaires, l'égalité peut être vérifiée.^LE

Multiplication par un scalaire

Pour un scalaire a,

∂C(a f)(x) = a ∂C f(x).

Si a < 0, l'ensemble est réfléchi.^E

Règle du produit

∂C(fg)(x) ⊂ f(x) ∂C g(x) + g(x) ∂C f(x).

C'est l'une des règles de calcul de type inclusion standard dans le calcul sous-différentiel de Clarke.^LE

Règle du quotient

Si g(x) ≠ 0 et g est bornée loin de zéro près de x, la règle du quotient standard a la forme :^E

∂C(f/g)(x) ⊂ [g(x) ∂C f(x) - f(x) ∂C g(x)] / g(x)^2.

Règle de la chaîne

Si F: R^n -> R^m est strictement différentiable en x et φ: R^m -> R est localement lipschitzienne près de F(x), la règle de la chaîne de Clarke est généralement énoncée comme une inclusion du type suivant :^LE

∂C(φ ∘ F)(x) ⊂ DF(x)^T ∂C φ(F(x)).

Si φ est régulière au sens de Clarke, des formes plus fortes sont disponibles.^LE

Règle du max

Si

f(x) = max { f1(x),..., fm(x) },

où chaque fi est localement lipschitzienne, on définit l'ensemble des indices actifs

I(x) = { i : fi(x) = f(x) }.

Alors la règle du max standard de Clarke donne une inclusion de la forme suivante :^LE

∂C f(x) ⊂ co ⋃_{i in I(x)} ∂C fi(x).

Si les fi sont lisses, cela devient :^E

∂C f(x) ⊂ co { ∇fi(x) : i in I(x) }.

Pour de nombreuses fonctions max standard, l'égalité est vérifiée sous des hypothèses de régularité appropriées.^LE

Règle de Fermat pour l'optimisation non lisse

Si x est un minimiseur local de f localement lipschitzienne, alors la condition de Fermat non lisse est :^LE

0 ∈ ∂C f(x).

C'est l'analogue non lisse de ∇f(x)=0.^LE

5. Articles et ouvrages classiques

• Les travaux de F. H. Clarke sur les gradients généralisés sont une source fondatrice pour les dérivées généralisées de Clarke en analyse non lisse.^E

• Les dérivées directionnelles généralisées et les gradients généralisés de Clarke sont discutés dans la littérature sur l'optimisation non lisse en dimension finie, y compris les travaux de Hiriart-Urruty.^L

• Les travaux de Rockafellar sur les sous-gradients généralisés en programmation mathématique constituent une autre ligne fondatrice ; l'article cité expose les fondements des dérivées directionnelles généralisées et des sous-gradients.^S

• Les travaux de Hiriart-Urruty en dimension finie discutent des dérivées directionnelles de Clarke, des gradients généralisés de Clarke, des règles de calcul et des applications à l'optimisation non lisse.^L

6. Orientations de la littérature récente

• La recherche récente en optimisation non lisse continue d'utiliser les objets de type Clarke et des relaxations associées ; par exemple, un article de 2025 étudie la vitesse de convergence en utilisant le sous-différentiel de Goldstein, décrit comme une version relaxée du sous-différentiel de Clarke utilisé dans plusieurs algorithmes.^L

• Les dérivées directionnelles généralisées de Clarke continuent d'apparaître dans les conditions d'optimalité pour les problèmes d'optimisation ensembliste ; un article de 2025 étudie les solutions faibles approximatives à l'aide d'un nouveau type de dérivée généralisée de Clarke.^A

• Les publications récentes de Rockafellar indiquent un travail continu en analyse non lisse et à valeurs ensemblistes, y compris des travaux de 2025 liés au calcul des variations.^S

7. Parcours de lecture recommandé

1. Commencer par la dérivée directionnelle généralisée et le sous-différentiel de Clarke.^LEE
2. Apprendre les règles de calcul de base : somme, produit, chaîne, max et règles de Fermat.^LE
3. Étudier les sous-différentiels convexes et les comparer aux sous-différentiels de Clarke.^LS
4. Passer à l'analyse variationnelle : cônes normaux, codérivées et cadres plus larges de différenciation généralisée.^SS
5. Lire des articles d'optimisation récents utilisant les sous-différentiels de Clarke ou de Goldstein dans les algorithmes.^L

Une première liste de lecture pratique serait :

• Les travaux de Clarke sur les gradients généralisés et les dérivées généralisées de Clarke.^E
• Les travaux de Hiriart-Urruty sur les dérivées généralisées et l'optimisation non lisse.^L
• L'article de Rockafellar « Generalized Subgradients in Mathematical Programming ».^S
• Des articles récents utilisant des sous-différentiels de type Goldstein ou Clarke dans des algorithmes d'optimisation non lisse et des conditions d'optimalité.^LA