La conjetura de Jacobi es refutada: cómo un matemático y una IA encontraron un contraejemplo en 216 caracteres

La conjetura de Jacobi

La conjetura de Jacobi es un problema fundamental en geometría algebraica. Fue enunciada por primera vez para dos variables por Ludwig Kraus en 1884 y generalizada a N variables por Ott-Heinrich Keller en 1939 . La conjetura afirma que si una función polinómica F: ℂⁿ → ℂⁿ tiene un determinante jacobiano (el determinante de la matriz de sus derivadas parciales) que es una constante distinta de cero en todos los puntos, entonces F debe ser un automorfismo polinómico — es decir, tiene una inversa polinómica y, por lo tanto, es biyectiva . Estas funciones se conocen como aplicaciones de Keller. La conjetura ocupaba el número 16 en la lista de 1998 de Stephen Smale sobre los Problemas Matemáticos para el Próximo Siglo y era famosa por atraer numerosas pruebas fallidas .

Cómo usó Levent Alpöge Claude Fable 5

En la noche del 19 al 20 de julio de 2026, mientras veía la final de la Copa Mundial de Clubes de la FIFA, el matemático Levent Alpöge — un teórico de números que trabaja en Anthropic después de haber sido Junior Fellow en la Society of Fellows de Harvard — recibió una pregunta sobre la conjetura de Jacobi de parte de un amigo llamado Akhil Mathew . Alpöge le pidió al modelo Claude Fable 5 de Anthropic que trabajara en el problema. El modelo devolvió una función polinómica concreta de 216 caracteres que cumplía la condición de tener un determinante jacobiano constante no nulo, pero que no era inyectiva, violando así la conclusión de la conjetura .

Alpöge publicó el resultado en X el 19 de julio de 2026, escribiendo: "Hola, la conjetura de Jacobi es falsa, gracias a mi querido amigo Akhil por preguntar y a mi otro querido amigo Fable por trabajar durante la final del Mundial" .

El contraejemplo específico

El contraejemplo es una función polinómica F: ℂ³ → ℂ³ definida explícitamente como :

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

Dos propiedades clave se cumplen :

• Determinante jacobiano: det Jac F = −2 (una constante no nula), por lo que F es una aplicación de Keller.
• No inyectividad: Tres puntos de entrada distintos se asignan a la misma salida (-1/4, 0, 0):
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

Dado que una función no inyectiva no puede tener una inversa polinómica (ni ninguna inversa), F contradice la conjetura de Jacobi. La construcción funciona en cualquier cuerpo de característica cero, ya que todos los coeficientes y puntos testigos son racionales .

Un preprint complementario (con fecha del 20 de julio de 2026) proporciona una verificación algebraica completa, determina la geometría global de F y demuestra que el conjunto de no-properidad de F es una hipersuperficie, el mecanismo por el cual la función falla en ser un automorfismo polinómico . El artículo también construye familias infinitas de tales contraejemplos .

Estado del caso de dos variables

La conjetura de Jacobi para n = 2 (dos variables complejas) sigue siendo un problema abierto en julio de 2026. El contraejemplo solo refuta la conjetura para dimensiones n ≥ 3 .

Estado actual de la verificación y revisión por pares

Hasta el 22 de julio de 2026, se sabe lo siguiente:

• Matemáticamente creíble: El contraejemplo es explícito y verificable mecánicamente. Los matemáticos lo están tomando en serio . Se ha producido una verificación formal en Lean 4 que pasa las compilaciones de integración continua .
• Sin publicación revisada por pares aún: No hay un artículo publicado en una revista con revisión por pares ni un preprint en arXiv según los últimos informes . El material existe como una publicación en redes sociales y un PDF complementario en ulam.ai, pero no ha pasado por una revisión formal de revista.
• Wikipedia ya se ha actualizado: La entrada de Wikipedia sobre la conjetura de Jacobi ahora enumera el contraejemplo como refutación de la conjetura para N > 2 .
• Evaluación de la comunidad: El consenso entre los comentaristas es que las matemáticas son casi con toda seguridad correctas, pero la aceptación formal y la citación en el registro oficial aún están pendientes a esta fecha . El resultado se atribuye a una colaboración humano-IA, no a Claude actuando solo .

En resumen: La conjetura de Jacobi parece ser genuinamente falsa en dimensiones ≥ 3. El caso de dos variables sigue abierto. El contraejemplo es matemáticamente sólido y ha sido verificado de forma independiente, pero aún no ha completado una revisión formal por pares.