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¿Cuántas distancias exactamente iguales a 1 pueden aparecer entre puntos en el plano?
El problema de la distancia unitaria de Erdős pregunta cuál es el máximo número de pares de puntos a distancia exactamente 1 entre n puntos en el plano. Fue propuesto por el matemático Paul Erdős en 1946 y sigue siendo un problema abierto en geometría discreta.
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En geometría discreta existe un famoso problema conocido como el problema de la distancia unitaria de Erdős. Fue planteado en 1946 por el matemático húngaro Paul Erdős y todavía hoy sigue sin una solución completa.
La pregunta fundamental
El problema es sencillo de formular:
Dado un conjunto de (n) puntos en el plano euclidiano, ¿cuál es el máximo número posible de pares de puntos que estén exactamente a distancia 1?
Si imaginamos que cada par de puntos separados por una distancia de 1 se conecta con un segmento, el problema equivale a preguntar cuántos “lados” puede tener como máximo un grafo de distancia unitaria con (n) vértices en el plano .
La conjetura de Erdős
Erdős observó que ciertas configuraciones basadas en rejillas cuadradas de puntos enteros producen muchos pares a distancia 1. A partir de estas construcciones propuso que el máximo real debería crecer casi linealmente con (n):
[
n^{1+o(1)}
]
Es decir, apenas un poco más que proporcional al número de puntos .
Los mejores resultados conocidos
Hasta ahora, los matemáticos solo han logrado acotar el problema entre dos límites:
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La gente también pregunta
¿Cuál es la respuesta corta a "¿Cuántas distancias exactamente iguales a 1 pueden aparecer entre puntos en el plano?"?
El problema de la distancia unitaria de Erdős pregunta cuál es el máximo número de pares de puntos a distancia exactamente 1 entre n puntos en el plano.
¿Cuáles son los puntos clave a validar primero?
El problema de la distancia unitaria de Erdős pregunta cuál es el máximo número de pares de puntos a distancia exactamente 1 entre n puntos en el plano. Fue propuesto por el matemático Paul Erdős en 1946 y sigue siendo un problema abierto en geometría discreta.
¿Qué debo hacer a continuación en la práctica?
Erdős conjeturó que el número máximo crece casi linealmente con n, aproximadamente n^(1+o(1)).
Fuentes
- arxiv.orgErdős's unit distance problem and rigidity - arXiv
- en.wikipedia.orgUnit distance graph - Wikipedia
- erdosproblems.comn - Erdős Problems
- youtube.comErd\H{o}s Unit Distance Problem and Graph Rigidity - Orit Raz
- arxiv.orgarXiv:2302.09058v2 [math.CO] 7 Nov 2024
- math.uchicago.eduERD¨OS DISTANCE PROBLEMS
- arxiv.orgThe Erdős unit distance problem for small point sets - arXiv
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