KI widerlegt 87 Jahre alte Jacobi-Vermutung: Wie Claude Fable 5 ein 216-Zeichen-Gegenbeispiel fand

Die Jacobi-Vermutung: Ein zentrales ungelöstes Problem

Die Jacobi-Vermutung ist ein grundlegendes Problem der algebraischen Geometrie. Erstmals für zwei Variablen von Ludwig Kraus im Jahr 1884 formuliert und 1939 von Ott-Heinrich Keller auf N Variablen verallgemeinert , besagt sie: Hat eine Polynomfunktion F: ℂⁿ → ℂⁿ eine Jacobi-Determinante – die Determinante ihrer Matrix der partiellen Ableitungen – die überall eine von Null verschiedene Konstante ist, dann muss F ein Polynomautomorphismus sein. Das bedeutet, F muss eine polynomiale Inverse besitzen und daher bijektiv sein . Solche Abbildungen heißen Keller-Abbildungen .

Die Vermutung wurde auf Stephen Smales Liste der wichtigsten mathematischen Probleme für das 21. Jahrhundert auf Platz 16 gesetzt und war dafür bekannt, über Jahrzehnte hinweg viele fehlerhafte Beweise anzuziehen .

Wie Levent Alpöge Claude Fable 5 einsetzte

In der Nacht vom 19. auf den 20. Juli 2026, während er das FIFA-Klub-Weltmeisterschaftsfinale verfolgte, wurde der Mathematiker Levent Alpöge – ein Zahlentheoretiker, der nach einem Junior Fellowship an der Harvard Society of Fellows nun bei Anthropic arbeitet – von einem Freund namens Akhil Mathew auf die Jacobi-Vermutung angesprochen . Alpöge bat Anthropics Claude Fable 5, sich mit dem Problem zu befassen. Das Modell lieferte eine konkrete 216 Zeichen lange Polynomabbildung, die die Bedingung einer konstanten, von Null verschiedenen Jacobi-Determinante erfüllte, aber nicht injektiv war, und damit die Schlussfolgerung der Vermutung verletzte .

Alpöge veröffentlichte das Ergebnis am 19. Juli 2026 auf X mit den Worten: „Hallo, die Jacobi-Vermutung ist falsch, danke an meinen engen Freund Akhil, der danach fragte, und meinen anderen engen Freund Fable, der während des WM-Finals arbeitete“ .

Das konkrete Gegenbeispiel

Das Gegenbeispiel ist eine Polynomabbildung F: ℂ³ → ℂ³, die explizit wie folgt definiert ist :

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

Zwei Schlüsseleigenschaften gelten :

• Jacobi-Determinante: det Jac F = −2 (eine von Null verschiedene Konstante), daher ist F eine Keller-Abbildung.
• Nicht-Injektivität: Drei verschiedene Eingabepunkte werden alle auf denselben Ausgabepunkt (-1/4, 0, 0) abgebildet:
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

Da eine nicht-injektive Abbildung keine polynomiale (oder irgendeine) Inverse haben kann, widerspricht F der Jacobi-Vermutung. Die Konstruktion funktioniert über jedem Körper der Charakteristik Null, da alle Koeffizienten und Zeugenpunkte rational sind .

Ein begleitendes Preprint (vom 20. Juli 2026) enthält eine vollständige algebraische Verifikation, bestimmt die globale Geometrie von F und beweist, dass die Nicht-Proper-Menge von F eine Hyperfläche ist – der Mechanismus, durch den die Abbildung kein Polynomautomorphismus ist . Das Papier konstruiert zudem unendliche Familien solcher Gegenbeispiele .

Status des Falls mit zwei Variablen

Die Jacobi-Vermutung für n = 2 (zwei komplexe Variablen) bleibt ein offenes Problem (Stand Juli 2026). Das Gegenbeispiel widerlegt die Vermutung nur für Dimensionen n ≥ 3 .

Aktueller Stand der Verifikation und des Peer Reviews

Zum 22. Juli 2026 ist Folgendes bekannt:

• Mathematisch glaubwürdig: Das Gegenbeispiel ist explizit und mechanisch überprüfbar. Mathematiker nehmen es ernst . Eine formale Verifikation in Lean 4 wurde erstellt und hat die Continuous-Integration-Builds bestanden . Der Mathematiker Kevin Buzzard nannte das Ergebnis „einen großen Tag“ .
• Noch keine Peer-Review-Publikation: Es gibt noch keine veröffentlichte, begutachtete Arbeit oder ein arXiv-Preprint . Das Material existiert als Social-Media-Beitrag und als begleitendes PDF auf ulam.ai, hat aber noch keine formelle Zeitschriftenbegutachtung durchlaufen.
• Wikipedia wurde aktualisiert: Der Wikipedia-Eintrag zur Jacobi-Vermutung listet das Gegenbeispiel nun als Widerlegung der Vermutung für N > 2 .
• Wolfram MathWorld aktualisiert: Auch der MathWorld-Eintrag listet das Gegenbeispiel nun .
• Einschätzung der Gemeinschaft: Der Konsens unter Kommentatoren ist, dass die Mathematik mit hoher Wahrscheinlichkeit korrekt ist, aber die formelle Akzeptanz und Zitierung im offiziellen wissenschaftlichen Rekord stehen zum aktuellen Zeitpunkt noch aus . Das Ergebnis wird einer Mensch-KI-Kollaboration zugeschrieben, nicht Claude, das allein gehandelt hätte .

Fazit: Die Jacobi-Vermutung scheint in Dimensionen ≥ 3 tatsächlich falsch zu sein. Der Fall mit zwei Variablen bleibt offen. Das Gegenbeispiel ist mathematisch solide und wurde unabhängig verifiziert, hat aber noch kein formelles Peer-Review durchlaufen.