KI widerlegt 87 Jahre alte Jacobi-Vermutung: Wie Claude Fable 5 ein 216-Zeichen-Gegenbeispiel fand

Die Vermutung wurde auf Stephen Smales Liste der wichtigsten mathematischen Probleme für das 21. Jahrhundert auf Platz 16 gesetzt und war dafür bekannt, über Jahrzehnte hinweg viele fehlerhafte Beweise anzuziehen .

Wie Levent Alpöge Claude Fable 5 einsetzte

In der Nacht vom 19. auf den 20. Juli 2026, während er das FIFA-Klub-Weltmeisterschaftsfinale verfolgte, wurde der Mathematiker Levent Alpöge – ein Zahlentheoretiker, der nach einem Junior Fellowship an der Harvard Society of Fellows nun bei Anthropic arbeitet – von einem Freund namens Akhil Mathew auf die Jacobi-Vermutung angesprochen . Alpöge bat Anthropics Claude Fable 5, sich mit dem Problem zu befassen. Das Modell lieferte eine konkrete 216 Zeichen lange Polynomabbildung, die die Bedingung einer konstanten, von Null verschiedenen Jacobi-Determinante erfüllte, aber nicht injektiv war, und damit die Schlussfolgerung der Vermutung verletzte .

Alpöge veröffentlichte das Ergebnis am 19. Juli 2026 auf X mit den Worten: „Hallo, die Jacobi-Vermutung ist falsch, danke an meinen engen Freund Akhil, der danach fragte, und meinen anderen engen Freund Fable, der während des WM-Finals arbeitete“ .

Das konkrete Gegenbeispiel

Das Gegenbeispiel ist eine Polynomabbildung F: ℂ³ → ℂ³, die explizit wie folgt definiert ist :

P(x, y, z) = (1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy)
Q(x, y, z) = y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy)
R(x, y, z) = 2x − 3x²y − x³z

Zwei Schlüsseleigenschaften gelten :

• Jacobi-Determinante: det Jac F = −2 (eine von Null verschiedene Konstante), daher ist F eine Keller-Abbildung.
• Nicht-Injektivität: Drei verschiedene Eingabepunkte werden alle auf denselben Ausgabepunkt (-1/4, 0, 0) abgebildet:
  • (0, 0, -1/4)
  • (1, -3/2, 13/2)
  • (-1, 3/2, 13/2)

Da eine nicht-injektive Abbildung keine polynomiale (oder irgendeine) Inverse haben kann, widerspricht F der Jacobi-Vermutung. Die Konstruktion funktioniert über jedem Körper der Charakteristik Null, da alle Koeffizienten und Zeugenpunkte rational sind .

Ein begleitendes Preprint (vom 20. Juli 2026) enthält eine vollständige algebraische Verifikation, bestimmt die globale Geometrie von F und beweist, dass die Nicht-Proper-Menge von F eine Hyperfläche ist – der Mechanismus, durch den die Abbildung kein Polynomautomorphismus ist . Das Papier konstruiert zudem unendliche Familien solcher Gegenbeispiele .

Status des Falls mit zwei Variablen

Die Jacobi-Vermutung für n = 2 (zwei komplexe Variablen) bleibt ein offenes Problem (Stand Juli 2026). Das Gegenbeispiel widerlegt die Vermutung nur für Dimensionen n ≥ 3 .

Aktueller Stand der Verifikation und des Peer Reviews

Zum 22. Juli 2026 ist Folgendes bekannt:

• Mathematisch glaubwürdig: Das Gegenbeispiel ist explizit und mechanisch überprüfbar. Mathematiker nehmen es ernst . Eine formale Verifikation in Lean 4 wurde erstellt und hat die Continuous-Integration-Builds bestanden . Der Mathematiker Kevin Buzzard nannte das Ergebnis „einen großen Tag“ .
• Noch keine Peer-Review-Publikation: Es gibt noch keine veröffentlichte, begutachtete Arbeit oder ein arXiv-Preprint . Das Material existiert als Social-Media-Beitrag und als begleitendes PDF auf ulam.ai, hat aber noch keine formelle Zeitschriftenbegutachtung durchlaufen.
• Wikipedia wurde aktualisiert: Der Wikipedia-Eintrag zur Jacobi-Vermutung listet das Gegenbeispiel nun als Widerlegung der Vermutung für N > 2 .
• Wolfram MathWorld aktualisiert: Auch der MathWorld-Eintrag listet das Gegenbeispiel nun .
• Einschätzung der Gemeinschaft: Der Konsens unter Kommentatoren ist, dass die Mathematik mit hoher Wahrscheinlichkeit korrekt ist, aber die formelle Akzeptanz und Zitierung im offiziellen wissenschaftlichen Rekord stehen zum aktuellen Zeitpunkt noch aus . Das Ergebnis wird einer Mensch-KI-Kollaboration zugeschrieben, nicht Claude, das allein gehandelt hätte .

Fazit: Die Jacobi-Vermutung scheint in Dimensionen ≥ 3 tatsächlich falsch zu sein. Der Fall mit zwei Variablen bleibt offen. Das Gegenbeispiel ist mathematisch solide und wurde unabhängig verifiziert, hat aber noch kein formelles Peer-Review durchlaufen.