Wie viele Punktpaare können im Koordinaten­ebene genau Abstand 1 haben?

Die wichtigste obere Schranke wurde 1984 von Joel Spencer, Endre Szemerédi und William T. Trotter bewiesen. Sie zeigten, dass die maximale Zahl der Einheitsabstände höchstens

(O(n^{4/3}))

beträgt.

Gleichzeitig liefern Gitterkonstruktionen eine untere Schranke von ungefähr

(n^{1 + O(1/\log\log n)}).

Damit ergibt sich die heutige Situation:

Zwischen oberer und unterer Schranke besteht also noch eine deutliche Lücke.

Warum das Problem schwierig ist

Das Einheitsabstandsproblem verbindet mehrere mathematische Bereiche:

• kombinatorische Geometrie
• Inzidenztheorie
• Graphentheorie (über sogenannte Einheitsdistanz‑Graphen)

Viele Methoden der modernen Geometrie und Kombinatorik wurden entwickelt oder verfeinert, um Fortschritte bei solchen Distanzproblemen zu erzielen. Trotzdem hat sich die grundlegende Schranke seit dem Ergebnis von 1984 kaum verbessert.

Der aktuelle Stand

Bis heute gilt:

• Die Vermutung von Erdős ist nicht bewiesen.
• Die beste bekannte obere Schranke bleibt (O(n^{4/3})).
• Konstruktionen zeigen, dass mindestens ungefähr (n^{1+o(1)}) Einheitsabstände möglich sind.

Damit gehört das Erdős‑Einheitsabstandsproblem weiterhin zu den klassischen offenen Fragen der diskreten Geometrie.

Kurz gesagt: Eine extrem einfache geometrische Frage – wie oft der Abstand 1 unter vielen Punkten vorkommen kann – beschäftigt Mathematiker seit fast 80 Jahren und ist bis heute ungelöst.