AI mod AI: OpenAI hævder, at Astra løste 10 matematiske problemer for 2.000 dollars

Dagen efter kom Anthropic med et modsvar: Alpöge sagde, at den offentligt tilgængelige Claude Fable på egen hånd havde løst fem af de samme problemer .

Jacobian-formodningen: det opsigtsvækkende forspil

Den 19. juli 2026, mens Spanien og Argentina spillede VM-finalen, skrev Levent Alpöge fem ord på X: "the jacobian conjecture is false" . Med opslaget fulgte et polynomium på blot 216 tegn .

Jacobian-formodningen blev fremsat af Ott-Heinrich Keller i 1939 og er et åbent problem inden for algebraisk geometri. Den står som nummer 16 på Fields Medal-modtageren Stephen Smales liste over problemer for det 21. århundrede .

I forenklet form spørger formodningen, om en polynomiel afbildning fra (\mathbb{C}^3) til (\mathbb{C}^3), der overalt har en konstant Jacobi-determinant forskellig fra nul, nødvendigvis også må være globalt invertibel – altså kunne vendes entydigt.

I næsten ni årtier fandt ingen et modeksempel eller et bevis. Alpöge arbejdede med Claude Fable 5 og fandt ifølge de offentliggjorte oplysninger en afbildning (F=(P,Q,R):\mathbb{C}^3\to\mathbb{C}^3), hvis Jacobi-determinant konstant er −2, men som sender tre forskellige input til samme output. Det afkræfter direkte formodningen .

Resultatet blev formaliseret i Lean 4 og kontrolleret inden for et døgn af matematikere, blandt andre Kevin Buzzard fra Imperial College London . Det er blevet omtalt som det hidtil vanskeligste matematiske problem, der er løst med hjælp fra AI .

OpenAI Astra: 10 resultater for cirka 2.000 dollars

Den 1. august 2026 offentliggjorde OpenAI et forskningsindlæg om en intern version af Astra, som virksomheden beskriver som sin næste store model. Ifølge OpenAI leverede modellen nye resultater på 10 åbne problemer, hvor der havde været meget lidt eller ingen fremgang i mindst et årti .

OpenAI offentliggjorde beviserne på GitHub sammen med maskinelt kontrollerbare Lean 4-certifikater. Den samlede udgift til de tokens, der blev brugt til at finde løsningerne, blev anslået til cirka 2.000 dollars efter API-priser .

De 10 områder og resultater, som OpenAI fremhæver, er:

• Ikke-sofiske grupper: En første eksplicit konstruktion af en ikke-sofisk gruppe – et spørgsmål, der har stået åbent siden Mikhail Gromov introducerede begrebet i 1999 .
• Kredsløbskompleksitet: Nye nedre grænser for kredsløb, der beregner permanenten .
• Pakning af kugler i høj dimension: Nye øvre grænser for tætheden af kuglepakninger frem mod Cohn–Elkies-tærsklen .
• Binære og sfæriske koder: Eksponentielle forbedringer af klassiske øvre grænser .
• Operatoralgebraer: Et modeksempel til Connes' stivhedsformodning for gruppe-von Neumann-algebraer .
• Kvante-parallel gentagelse: Et resultat for kvante-parallel gentagelse i alle sammenfiltrede spil .
• Gitterkryptografi: Et nyt resultat om problemet med at finde den nærmeste vektor .
• Ekstremal kombinatorik: Løsninger på Erdős-problemerne nummer 146, 180 og 183 .
• Geometri i høj dimension: En ny geometrisk konstruktion .
• Ehrharts formodning: En løsning på et problem om optælling af gitterpunkter .

Det tilhørende manuskript fylder 249 sider. GitHub-projektet indeholder desuden modellens forklaringer af ræsonnementerne og Lean 4-certifikater. Ifølge projektet er antallet af uudfyldte bevistrin – markeret med "sorry" i Lean – nul, hvilket betyder, at alle formaliserede trin i de ti beviser er kontrolleret af systemet .

Anthropic svarer igen: Fable skulle have løst fem

Inden for 24 timer efter OpenAIs annoncering skrev Levent Alpöge på X, at han havde brugt den offentligt tilgængelige Claude Fable – ikke en uudgivet model – til uafhængigt at løse fem af de samme 10 problemer .

Ifølge Alpöge:

• brugte han generelle prompts uden internetadgang ;
• var der sikkerhedsforanstaltninger, som skulle forhindre Fable i at se OpenAIs løsninger ;
• fandt modellen resultaterne autonomt på få timer ;
• dækkede resultaterne blandt andet kredsløbskompleksitet, kvante-parallel gentagelse, gitterkryptografi og problemet med den nærmeste vektor .

Alpöge hævdede ikke, at Fable havde løst alle ti problemer. Hans påstand var, at modellen med minimal menneskelig vejledning selv havde genskabt fem af dem . Han oplyste desuden, at kun ét af de fem resultater i det væsentlige brugte samme argument som OpenAIs løsning, mens de øvrige fire muligvis var uafhængige beviser .

Påstanden udfordrer OpenAIs fremstilling af Astra som noget helt særligt: Hvis en model, der allerede er tilgængelig for offentligheden, kan matche halvdelen af resultaterne, bliver spørgsmålet ikke kun, hvad den mest avancerede model kan, men også hvor hurtigt egenskaberne bliver almindelige .

Hvad betyder kapløbet for matematikken?

Pris bliver en konkurrenceparameter. OpenAIs tal på 2.000 dollars gør beregningsøkonomien til en central del af historien . Hvis AI-systemer kan skabe nye matematiske resultater for et par hundrede dollars per problem, flytter flaskehalsen sig muligvis fra selve opdagelsen til kontrol, fortolkning og videreudvikling.

Maskinelt kontrollerbare beviser får større betydning. Både Jacobian-resultatet og Astras resultater blev formaliseret i Lean 4 . Et Lean-certifikat tvinger hvert trin i et matematisk argument ind i et format, som en computer kan kontrollere. Det kan gøre det muligt at efterprøve visse resultater på timer eller dage i stedet for år .

Det betyder dog ikke nødvendigvis, at traditionel fagfællebedømmelse forsvinder. Et maskinelt kontrolleret bevis kan vise, at en formel argumentation hænger sammen, men mennesker skal stadig vurdere, hvor vigtig, elegant eller anvendelig resultatet er.

Forfatterskab bliver sværere at definere. Jacobian-resultatet rejste et grundlæggende spørgsmål: Hvem er forfatteren – matematikeren, der formulerede opgaven og styrede arbejdet, AI-modellen eller virksomheden bag modellen? Alpöge krediterede både en menneskelig kollega og Claude Fable 5 i sit opslag .

Akademiske tidsskrifter har endnu ingen fælles standard for AI som medforfatter, og resultaterne blev først delt via X og GitHub frem for gennem en traditionel publiceringsproces .

Tempoet har fået matematikere til at beskrive udviklingen som "very rapid and disorienting" – meget hurtig og desorienterende .

Hvad er stadig usikkert?

Den fulde og præcise liste over, hvilke fem af Astras ti problemer Claude Fable skulle have genskabt, er endnu ikke offentliggjort i detaljer . De tilgængelige oplysninger peger på områder som kredsløbskompleksitet, kvante-parallel gentagelse og gitterkryptografi, men den nøjagtige fordeling er fortsat ubekræftet .

Både OpenAIs og Alpöges udmeldinger bør derfor indtil videre opfattes som resultater annonceret af en virksomhed og en tilknyttet forsker. De har endnu ikke gennemgået fuld traditionel fagfællebedømmelse. Lean-certifikaterne giver en stærk, maskinelt kontrollerbar sikkerhed for de formaliserede trin, men de ændrer ikke på, at den videnskabelige vurdering af resultaternes betydning og uafhængighed stadig mangler .